Mustaqil ishi Mavzu: Ko‘phadlar qiymatlarini hisoblashda Gorner sxemasi. Toshkent 2022 Reja

2-misol. Ushbu



ifodadan butun qism ajratamiz. Buning uchun suratdagi ko’phadni maxrajdagi ko’phadga bo’lish lozim. Bo’lishni “burchakli bo’lish” usulida bajaramiz:

3x^4-10ax^3+22a^2x^2-24a^3x+10a^4	x^2-2ax+3a^2
3x^4-6ax^3+9a^2x^2	3x^2-4ax+5a^2
-4ax^3+13a^2x^2-24a^3x
-4ax^3+8a^2x^2-12a^3x
5a^2x^2-12a^3x+10a^4
5a^2x^2-10a^3x+15a^4
-2a^3x-5a^4

Demak,

Aytaylik, φ(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ ko`phad berilgan bo`lsin . Darajasi n ga teng va bosh koeffisenti b _n 0 bo`lgan har qanday φ(x) ko`phadning bosh koeffisentini doimo 1 ga keltirib olish mumkin . Buning uchun ko`phadni qarash kifoya . g(x) ko`phadddan boshqa bosh koeffisenti ixtiyoriy bo`lgan m≥n darajali f(x)=α<sub>0+</sub> α<sub>1</sub>x+ α<sub>2</sub>x<sup>2</sup>+ …+ α<sub>m</sub>x<sup>m</sup> ko`phad berilgan bo`lsin .

Agar f(x) ko`phad n- darajali ko`phad bo`lsa u deg f(x) =n kabi yoziladi.
Teorema. Har qanday f(x) va g(x) 0 ko`phadlar uchun shunday yagona h(x) va r(x) ko`phadlar mavjudki , ular uchun deg r(x) < degg(x) va deg h(x)f(x)=g(x) h(x)+ r(x) (2.2)
Isboti Agar f(x) ko`phaddan a _mx^m-ng(x) ko`phaddi ayirsak , f(x)- a <sub>m</sub>x<sup>m-n</sup>g(x) = r<sub>1</sub>(x) ko`phadda a _mx^m had bo`lmaydi . Bu yerda quyidagi ikki hol bo`lishi mumkin :
a) r₁(x) x ning darajasi g(x) ning darajasidan kichik ;
b) r₁(x) ning rarajasi g(x) darajasidan katta yoki unga teng .
Agar a) hol yuz bersa , h(x) =a _mx^m-n ; r(x)= r₁(x) bo`lib , teorema isbotlangan bo`ladi . Biz b) hol ustida to`xtalib o`tamiz . faraz qilaylik , dar r₁(x) ≥ deg g(x) bo`lib , r<sub>1</sub>(x) = c<sub>0</sub>+c<sub>1</sub>x +c<sub>2</sub>x<sup>2</sup>+… +c<sub>k</sub>x<sup>k</sup> ko`rinishga ega bo`lsin .
Endi g(x) ko`phadni c_kx^k-n ga ko`paytirib , natijasini r<sub>1</sub>(x) dan ayiramiz . U holda r<sub>1</sub>(x) - c<sub>k</sub>x<sup>k-n</sup>g(x) = r<sub>2</sub>(x) bo`lib , r₂(x) ko`phadga c<sub>k</sub>x<sup>k</sup> had bo`lmaydi .
r₂(x)=d₀+d₁x+d₂x²+…+d_lx^l bo`lsin . Bu yerda yana yuqoridagi ikki holdan biri yuz berishi mumkin :
1) Agar l≥n bo`lsa , ushbu ayrmani tuzamiz : r₂(x)- d₁x^l-n g(x)= r₃(x) ,
jarayonni davom ettirib , biror v qadamdan so`ng dar r<sub>v</sub>(x)< dar g(x) ga erishamiz .Boshqacha aytganda , r<sub>v-1</sub>(x)- g(x)=r<sub>v</sub>(x) tenglikda dar r<sub>v</sub>(x)< dar g(x) bo`ladi .
Endi ushbu tengliklarni hadlab qo`shamiz :
f(x)- a <sub>m</sub>x<sup>m-n</sup>g(x)= r<sub>1</sub>(x)
r<sub>1</sub>(x)- c <sub>k</sub>x<sup>k-n</sup> g(x)= r<sub>2</sub>(x),
r<sub>2</sub>(x)- d <sub>l</sub>x<sup>l-n</sup> g(x)= r<sub>3</sub>(x),
……………………….
r<sub>v-1</sub>(x)- g(x)= r<sub>v</sub>(x).
unda
f(x)-( a <sub>m</sub>x<sup>m-n</sup>+ c <sub>k</sub>x<sup>k-n</sup> + d <sub>l</sub>x<sup>l-n</sup>+…+ )g(x)= r<sub>v</sub>(x)
hosil bo`ladi . bu yerda
a _mx^m-n+ c _kx^k-n +…+ =h(x) va r_v(x) =r(x)
desak, f(x)=g(x)·h(x)+r(x) tenglik hosil bo`ladi .
f(x)=g(x)·h(x)+r(x) tenglikdagi f(x) bo`linuvchi , g(x) bo`luvchi , h(x) chala bo`linma , r(x) esa qoldiq ko`phadlar deyiladi .
Endi (1) tenglikning yagonaligini isbotlaymiz .
Aytaylik , (1) shartni qanoatlantiruvchi yana bir juft va
Ko`phad mavjud , yani
f(x)=g(x) · + (2.3)
tenglik o`rinli bo`lsin . (2.2) va (2.3) tengliklarni hadlab ayirib
o=g(x)(h(x)- )+(r(x)- )
yoki
g(x)·(h(x)- )= - r(x) (2.4)
ni hosil qilamiz . Bu yerda r(x) va ning aniqlanishiga asosan dar
( -r(x))< dar g(x) bo`ladi . Agar chap tomonda h(x)- 0 bo`lsa , ( -r(x)) ning darajasi (2.4) ga asosan g(x) ning darajasidan kichik emas. Bu esa r(x) va ning aniqlanishiga ziddir . Shuning uchun h(x) = bo`ladi . bunga ko`ra (3) dan r(x)= kelib chiqadi .
Bu teoremani bazan f(x) ko`phadni g(x) ko`phadga qoldiqli bo`lish teoremasi deb yuritiladi .
1-misol. P(x) ko’phadni (x-3)² ga bo’linganda qoldiq (x-1) bo’lsa P²(x) ko’phadi (x-3)² ga bo’lingandagi qoldiqni toping.
Yechish. P²(x)=

X^2-2x+1 X^2-6x+9	X^2-6x+9
	1
4x-8=r(x)

2-misol. P(x)=(x²-3x+2)³+2(x²-3x+2)²+2x²+x+10 ko’phadi (x²-3x+4) ga bo’linganda qolgan qoldiqni toping .
Yechish: P(x)=(x²-3x+2)³+2(x²-3x+2)²+2x²+x+10=T³-3t²*2+3*2²*t-8+2(t²-4t+4)+2x²+x+10=

2x^2+x+10 2x^2-6x+8	X^2-3x+4
	2
7x+2

R(x)=7x+2
Gorner sxemasi va uning amaliy tadbiqlari .
Agar x=α son f(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, Bezu teorimasiga asosan f(x) ko’phadning x=α dagi qiymati r=f(α)=0 bo’lar edi. Qoldiqli bo’lish teoremasiga ko’ra f(x)= (x-α) (x)+r tengliklardagi (x) ning koefsentlarini va r qoldiq hadni hissoblashning bir usuli bilan tanishaylik.Buning uchun (x) va r ni nomalum koefsentlar yordamida quyidagicha yozib olamiz:
α₀xⁿ+ α₁x^n-1+…+ α_n-1xⁿ+ α_n=( x-α)(A₀x^n-1+ A₁x^n-2+…+ A_n-2x+ A_n-1)+r.
tengliklarning o’ng tomonidagi qavslarni ochib , ikkita ko’phadning tengligi ta’rifiga asosan , quyidagilarga ega bo’lamiz:
α₀= A₀ , α₁= A₁- α A₀ , α₂= A₂- α A₁, … α_k= A_k- α A_k-1 , … , α_n-1= A_n-1- α A_n-2
α_n=r- α A_n-1.
Bu tengliklardan A_i (i=0,n) larni va r ni quyidagicha aniqlaymiz :
A₀= α₀ , A₁= α₁+ α A₀ , A₂= α₂+ α A₁ , … , A_k= α_k+ α A_k-1 , … , A_n-1= α_n-1+ α A_n-2 ,
r= α_n+ α A_n-1 .
bu hisoblashlarni quyidagi Gorner sxemasi deb ataluvchi sxema yordamida ham bajarish mumkin :

	α0	α1	α2	…	αk	…	αn-1	αn
α	A0	A1	A2	…	Ak	…	An-1	R

Har bir A_k koefsentini topish uchun sxemada uning yuqorisidagi α_k va A_k dan oldin turgan A_k-1 ni α ga ko’paytirib qo’shish kerak.Agar (x) ko’phadni yana biror x-β ikkihadga bolish talab etilsa ,bu sxemani pastga qarab davom ettirish mumkin .Umuman olganda , ko’phadningning karrali ildizlarini topishda ham shu usuldan foydalaniladi.
1-misol . x³+4x²-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib , x-1 ga bo`lishni bajaramiz .

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5 =(x-1)(x²+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko`pxadni αx+b ko`rinishidagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq p ga teng bo`lishi kelib chiqadi .
2-misol . P<sub>3</sub>(x)=x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping .
Y e c h i s h . Qoldiq r=P₃ ga teng .
3-misol. X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 ko’phad uchun x=2 necha karrali ildiz ekanligini aniqlang.
Yechish: Bu misol uchun ham yuqoridagi kabi quyidagi sxemani tuzamiz :

	1	-7	12	16	-64	48
2	1	-5	2	20	-24	0
2	1	-3	-4	12	0
2	1	-1	-6	0
2	1	1	-4

Demak ,x=2 uch karrali ildiz bo’lib , berilgan ko’phadni

X⁵-7x⁴+12x³+16x²-64x+48 =(x-2)³(x²-x-6)
Shaklda yozish mumkin .Bu yerda x²-x-6=(x-2)*(x+1)-4.


4-misol. P(x)=x³-3x²mx+n ko’phad (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa n=? toping.
Yechish p(x)=(x+2)² φ(x) , x=-2 ko’phadning ikki karrali ildizi desak Gorner sxemasini tuzamiz:

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Javob: n=68
5-misol. P(x)=ax³+bx²+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=?
Yechish: Gorner sxemasidan foydalanamiz .

	a	b	c	d
1	a	a+b	a+b+c	a+b+c+d
1	a	2a+b	3a+2b+c

d=2a+b
Javob: d=2a+b


Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi.
K birlik elementga ega bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin .
6.1-Ta’rif. Agar K Butunlik sohasini biror αelementi uchun f(α)=0 tenglik bajarilsa , u holda α element f(x) ko`phadning ildizi deyiladi .
Q maydon ustida bir nomalumli birinchi darajali f(x) = αx+b ko`phad α 0 bo`lganda ratsional sonlar to`plamida doimo ildizga ega , chunki f(- ) = -b+b=0 , yani f(- )=0 bo`ladi .
Darajasi n≥1 bo`lgan har qanday ko`phad ildizilarga ega bo`lgan kengaytama maydon doimo mavjud bo`ladi(Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra) .
Nolinchi darajali f(x)= α 0 ko`phadni ildizi yo`q , chunki x ga qanday qiymatni bermaylik , baribir (x)= α 0 bo`ladi . biz nol ko`phadni etiborga olmaymiz , bunday ko`phad x ning har bir qiymatida nolga teng .
1-Teorema . f(x) ko`phadni x- α ikkihadga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng .
Isboti. Bo`luvchi x- α ning darajasi 1 ga teng bo`lgani uchun qoldiq r(x) yo nolinchi darajali ko`phad , yoki nol bo`lishi kerak , yani
f(x)=(x- α)h(x)+r (6.1)
bo`lib , bu tenglikda x= α desak , f(α) =r ni hosil qilamiz .
2-Teorema x= α element f(x) ko`phadning ildizi bo`lishi uchun f(x) ning x- α ikkihadga bo`linishi zarur va yetarli .
Isboti. Zaruriyligi . x= α ni f(x) ning ildizi deylik . bu holda f(α)=0 bo`ladi. 1-Teoremaga asosan f(x) ni x- α ga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng . lekin f(α) =0 bo`lgani uchun r=0 dir demak , f(x) ko`phad x- α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
2.Yetarliligi . f(x) ko`phad x- α ga qoldiqsiz bo`linsin :
f(x)=(x- α)h(x) , yani qoldiq r=0 bo`lsin . 1-Teoremaga ko`ra f(α) =r . bunda r=0 bo`lgani uchun f(α)=0 . Demak x= α qiymat f(x) ko`phadning ildizi ekan .
Ta’rif. Agar f(x) ko’phad ^α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin ^α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= ^α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= ^α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning ^α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X⁵+x⁴+x³-x²-x-1 ko’phad uchun (x) =x²+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x²+x+1) ² ga bo’linadi .Lekin (x²+x+1)³ ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)³ (x-1)² bo’ladi.
F(x)= x⁴+2x³+2x² +3x-2
uchun (x)= x³+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x³+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x²-4)⁴(2x³+x-1)³ (x+1)(x⁴-3x³+1)⁵
Ko’phad uchun ₁(x) =x²-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , ₂(x) =2x³+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , ₃(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va ₄(x) =x⁴-3x³+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.
Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f^׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=p^α(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:

Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,

Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.
1-misol. P(x)=x⁴-3mx³+nx+p ko’phadning bir bo’luvchisi (x-3)³ bo’lsa , m ni toping.
Yechish. Ko’phadning x=3 uch karrali ildizi.
Gorner sxemasini tuzamiz.

	1	-3m	0	n		p
3	1	3-3m	9-9m	27-2m+n		81-81m+3n+p
3	1	6-3m	27-18m	81-54m
3	1	9-3m	54-27m

Oxirgi ifodadan 54-27m=0 ekanligi kelib chiqadi, demak, m=2 Javob: m=2.
2-misol. P(x)=x³-3x²+mx+n ko’phadi (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa, n ni toping
Yechish. Masalaning berilishiga ko’ra, P(x)=(x+2)² (x) o’rinli bo’ladi. x=-2 ildiz ko’phadning ikki karrali ildizi, demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Bunga ko’ra,

natijaga ega bo’lamiz.
Javob: n=68.
3-misol. P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi x=-1 bo’lsa 3a-b ni toping.
Yechish: P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	a	b	c		d
-1	1	a-1	1-a+b	a-b-1+c		b-1-c+d
-1	1	a-2	3-2a+b	3a-2b-4+c
-1	1	a-3	6-3a+b

6-3a+b=0 3a-b=6

Javob: 3a-b=6.