|
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Ketma-ketlikni o'rnatish usullari. Ketma-ketlikni turli yo'llar bilan belgilash mumkin, ulardan uchtasi ayniqsa muhim: analitik, tavsiflovchi va takroriy.
1. Agar ketma-ketlik formulasi berilgan bo‘lsa, analitik tarzda berilgan n- a'zo:
y n=f(n).
Misol. y n= 2n- 1 – toq sonlar ketma-ketligi: 1, 3, 5, 7, 9, ...
2. Tasviriy sonli ketma-ketlikni belgilash usuli - bu ketma-ketlik qaysi elementlardan qurilganligini tushuntiradi.
1-misol. "Tartibning barcha a'zolari 1 ga teng." Bu degani, gaplashamiz 1, 1, 1, …, 1, … statsionar ketma-ketlik haqida.
2-misol. “Tartib o‘sish tartibidagi barcha tub sonlardan iborat”. Shunday qilib, 2, 3, 5, 7, 11, ... ketma-ketligi berilgan. Ushbu misoldagi ketma-ketlikni ko'rsatishning bu usuli bilan, aytaylik, ketma-ketlikning 1000-elementi nimaga teng ekanligiga javob berish qiyin.
3. Ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli - hisoblash imkonini beruvchi qoida ko'rsatilgan. n-ketma-ketlikning oldingi a'zolari ma'lum bo'lsa. Takroriy usul nomi lotincha so'zdan olingan takrorlanadi- qaytib kelmoq. Ko'pincha, bunday hollarda ifodalashga imkon beruvchi formula ko'rsatiladi n ketma-ketlikning th a'zosini oldingilari orqali o'tkazing va ketma-ketlikning 1-2 ta boshlang'ich a'zosini belgilang.
1-misol y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 agar n = 2, 3, 4,….
Bu yerda y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Ko'rinib turibdiki, ushbu misolda olingan ketma-ketlikni analitik tarzda ham aniqlash mumkin: y n= 4n- 1.
2-misol y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 agar n = 3, 4,….
Bu yerda: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Ushbu misolda tuzilgan ketma-ketlik matematikada maxsus o'rganilgan, chunki u bir qator qiziqarli xususiyatlar va ilovalarga ega. U Fibonachchi ketma-ketligi deb ataladi - 13-asr italyan matematigi nomidan. Fibonachchi ketma-ketligini rekursiv tarzda aniqlash juda oson, ammo analitik jihatdan bu juda qiyin. n Fibonachchi soni uning tartib raqami bilan quyidagi formula bilan ifodalanadi.
Bir qarashda, formula n th Fibonachchi soni aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, chunki faqat natural sonlar ketma-ketligini ko'rsatadigan formulada kvadrat ildizlar mavjud, ammo siz ushbu formulaning dastlabki bir nechasi uchun haqiqiyligini "qo'lda" tekshirishingiz mumkin. n.
Sonli ketma-ketliklarning xossalari.
Sonli ketma-ketlik sonli funksiyaning alohida holidir, shuning uchun ketma-ketliklar uchun funksiyalarning bir qator xossalari ham ko‘rib chiqiladi.
Ta'rif . Keyingi ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa, ortish deyiladi:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Ta'rif.Sequence ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan kichik bo'lsa, kamayuvchi deyiladi:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .
O'sish va kamayish ketma-ketliklarini umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar birlashtiradi.
1-misol y 1 = 1; y n= n 2 - ortib borayotgan ketma-ketlik.
Demak, quyidagi teorema rost (arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi). Raqamli ketma-ketlik arifmetik hisoblanadi, agar uning birinchi a'zosidan tashqari har bir a'zosi (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.
Misol. Qanday qiymatda x raqamlar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 chekli arifmetik progressiya hosil qiladi?
Xarakterli xususiyatga ko'ra, berilgan ifodalar munosabatni qondirishi kerak
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Bu tenglamani yechish beradi x= –5,5. Ushbu qiymat bilan x berilgan ifodalar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 mos ravishda -14,5 qiymatlarni oladi, –31,5, –48,5. Bu arifmetik progressiya, uning farqi -17 ga teng.
Geometrik progressiya.
Barcha a'zolari nolga teng bo'lgan va har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi a'zodan bir xil songa ko'paytirib olinadigan raqamli ketma-ketlik. q, geometrik progressiya va son deyiladi q- geometrik progressiyaning maxraji.
Demak, geometrik progressiya sonli ketma-ketlikdir ( b n) munosabatlar orqali rekursiv beriladi
b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b Va q- berilgan raqamlar, b ≠ 0, q ≠ 0).
1-misol. 2, 6, 18, 54, ... - ortib borayotgan geometrik progressiya b = 2, q = 3.
2-misol. 2, -2, 2, -2, ... – geometrik progressiya b= 2,q= –1.
3-misol. 8, 8, 8, 8, … – geometrik progressiya b= 8, q= 1.
Geometrik progressiya ortib boruvchi ketma-ketlikdir, agar b 1 > 0, q> 1 va agar kamayadi b 1 > 0, 0q
Geometrik progressiyaning aniq xususiyatlaridan biri shundaki, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… birinchi hadi ga teng boʻlgan geometrik progressiya b 1 2 va maxraj bo'ladi q 2 .
Formula n- geometrik progressiyaning uchinchi hadi shaklga ega
b n= b 1 q n – 1 .
Cheklangan geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasini olishingiz mumkin.
Cheklangan geometrik progressiya bo'lsin
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
bo'lsin S n - uning a'zolari yig'indisi, ya'ni.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Bu qabul qilinadi q№ 1. Aniqlash S n sun'iy hiyla qo'llaniladi: ifodaning ba'zi geometrik o'zgarishlari amalga oshiriladi S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
Shunday qilib, S n q= S n +b n q – b 1 va shuning uchun
Bu bilan formula umma n geometrik progressiyaning a'zolari qachon uchun q≠ 1.
Da q= 1 formulani alohida ajratib bo'lmaydi, bu holda aniq S n= a 1 n.
U geometrik progressiya deb ataladi, chunki unda birinchidan tashqari har bir had oldingi va keyingi hadlarning geometrik o'rtacha qiymatiga teng. Haqiqatan ham, beri
b n = b n- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
Binobarin, b n 2= b n– 1 bn+ 1 va quyidagi teorema to'g'ri (geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati):
sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb hisoblanadi, agar uning har bir hadining kvadrati, birinchisidan tashqari (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi hadlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lsa.
Do'stlaringiz bilan baham: |
