Mustaqil ish №2 Chiziqli bo‘lamagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish haqida umumiy tushuncha; Berilgan chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqriban yechish

---

MUSTAQIL ISH №2 
Chiziqli bo‘lamagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish haqida 
umumiy tushuncha; 
Berilgan chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usulida 
taqriban yechish. 
Talabaning variant nomeri V - lms tizimidagi potok ro‘yxatidagi nomerga teng. 
Talaba quyidagi savollarga javob berishi lozim: 
1.
Chiziqli bo‘lamagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning qanday 
usullari bor? Ular haqida qisqacha ma‘lumotlar keltiring -
0.5 ball 
2.
Chiziqli bo‘lamagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning Nyuton usuli 
haqida maʼlumot keltiring - 
0.5 ball
3.
Berilgan chiziqli bo‘lamagan tenglamalar sistemasini oldindan berilgan 
𝜀
aniqlikda Nyuton usulida taqriban yeching. Bitta yechimi analitik usulda yechib 
ko‘rsating - 
2 ball 
4.
Ushbu usul dasturini tuzing (dasturlash tili ixtiyoriy). Qolgan yechimlarni dastur 
orqali toping - 
1 ball
0-VARIANT 
 
1.
Birinchi nazariy savolga javob yozasiz; 
2.
Ikkinchi nazariy savolga javob yozasiz; 
3.
Quyida berilgan chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usulida 
0, 01


aniqlikda taqriban yeching; 
3
2
2
1
4
x
y
x
y
  





yoki
3
2
2
1 0
4
0
x
y
x
y
   



 

(1) 
Yechilishi:
Demak tenglamalarning funksiyasini yozib ularning grafigini 
GeoGebra 2D dasturida chizib olishimiz mumkin: 
3
1
( , )
1
f x y
x
y
  
va
2
2
2
( , )
4
f x y
x
y




---

Geometrik nuqtai nazardan bu yerda aylana va egri chiziqning kesishish 
nuqtalarini topish talab qilinayapti. Grafikdan ko‘rinadiki tenglamalar sistemasi 2 ta 
yechimga ega. Biz Nyuton usuli yordamida 2-chorakdagi taqribiy yechimini 
izlaymiz. Buning uchun zarur bo‘ladigan xususiy hosilalarni hisoblaymiz: 
2
1
3
f
x
x



;
1
1
f
y



:
2
2
f
x
x



:
2
2
f
y
y



Bularga ko‘ra 
∆= ||
𝜕𝑓
1
𝜕𝑥
𝜕𝑓
1
𝜕𝑦
𝜕𝑓
2
𝜕𝑥
𝜕𝑓
2
𝜕𝑦
|| = |
3𝑥
2
1
2𝑥
2𝑦
| = 2𝑥(3𝑥𝑦 − 1)
∆
𝑥
= ||
𝑓
1
𝜕𝑓
1
𝜕𝑦
𝑓
2
𝜕𝑓
2
𝜕𝑦
|| = |
𝑥
3
+ 𝑦 − 1
1
𝑥
2
+ 𝑦
2
− 4 2𝑦
| = 2𝑥
3
𝑦 − 𝑥
2
+ 𝑦
2
− 2𝑦 + 4
∆
𝑦
= |
𝜕𝑓
1
𝜕𝑥
𝑓
1
𝜕𝑓
2
𝜕𝑥
𝑓
2
| = |
3𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑦 − 1
2𝑥
𝑥
2
+ 𝑦
2
− 4
| = 𝑥
4
+ 3𝑥
2
𝑦
2
− 12𝑥
2
− 2𝑥𝑦 + 2𝑥
Nyuton usulida iteratsiya jarayoni quyidagicha quriladi: 
{
𝑥
𝑘+1
= 𝑥
𝑘
−
∆
𝑥
(𝑥
𝑘
;𝑦
𝑘
)
∆(𝑥
𝑘
;𝑦
𝑘
)
𝑦
𝑘+1
= 𝑦
𝑘
−
∆
𝑦
(𝑥
𝑘
;𝑦
𝑘
)
∆(𝑥
𝑘
;𝑦
𝑘
)
;
k
=0;1;2;…… 
Iteratsiyani to‘xtatish sharti sifatida esa: 
√(𝑥
𝑘+1
− 𝑥
𝑘
)
2
+ (𝑦
𝑘+1
− 𝑦
𝑘
)
2
< 𝜀
ya’ni keyingi va oldingi topilgan nuqtalar orasidagi masofa oldindan berilgan 
𝜀
dan 
kichik bo‘lganda iteratsiya jarayonini to‘xtatamiz. 2-chorakdagi yechimni topish 
uchun grafikdan foydalanib, iteratsiya jarayonini tezlashtirish maqsadida 
boshlang‘ich yaqinlashish nuqtasini ildizga yaqinroq joydan o‘zimiz tanlaymiz: 
𝑥
0
= −1; 𝑦
0
= 2
.
𝑥
1
= −0.9286; 𝑦
1
= 1.7857; √(𝑥
1
− 𝑥
0
)
2
+ (𝑦
1
− 𝑦
0
)
2
= 0.2259 > 0.01 = 𝜀
𝑥
2
= −0.91916; 𝑦
2
= 1.776321; √(𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
= 0.013 > 0.01 = 𝜀
𝑥
3
= −0.91907; 𝑦
3
= 1.776321; √(
𝑥
3
− 𝑥
2
)
2
+
(
𝑦
3
− 𝑦
2
)
2
= 0.001 < 0.01 = 𝜀

---

 Ko‘rinib turibtiki 3-yaqinlashishda biz 
ildizga kerakli aniqlikda yaqinlasha oldik. 
Dasturning o‘zida ham ushbu nuqtalarni 
topishni iloji bor edi, lekin maqsad tijorat 
maqsadlarida 
yaratilayotgan 
har 
xil 
hisoblash dasturlari ichida biz qayd etib 
o‘tgan algoritmlar yotganligi, bunday 
dasturlarni tuzishda talabalarga nafaqat 
dasturlash malakasi, balki matematik malaka ham zarurligini ko‘rsatishdan iborat. 
Geogebra dasturi chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini yechishda juda qo‘l 
kelib ularning ishini ancha osonlashtiradi. Talabalar mustaqil ishlarini bajarish 
jarayonida iteratsiya jarayonini tezlashtirish maqsadida, boshlang‘ich (
x
o
;y
o
) nuqtani 
tavakkal tanlamasdan yechimga yaqinroq nuqtani tanlashadi va bu orqali dasturning 
ish samaradorligini ortishiga erishadi.
4.
Ushbu usulni dasturini tuzib, dastur kodi, dastur bergan yechim 
skrinshotlarini taqdim qilish, mustaqil ish himoyasida dastur orqali yechim 
olishni shaxsan talabani o‘zi namoyish qilishi talab qilinadi. 
VARIANTLAR 
Quyidagi chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasi 
𝜀 = 𝑉 ∗ 0.0001
aniqlik 
bilan taqriban hisoblansin. V-variant nomeri. 
{
V + 1
2
∙ 𝑥
2
+
𝑉 + 2
4
∙ 𝑦
2
−
𝑉 + 3
5
∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑉
V + 2
5
∙ 𝑥
2
+
𝑉 + 3
3
∙ 𝑦
2
+
𝑉 + 5
4
∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑉