Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

Isbot. = tenglik ma’noga ega bo’lishi uchun g(b) g(a) bo’lishi kerak. Bu esa teoremadagi g’(x) 0 (x ) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatan ham agar g(a)=g(b) bo’lib qoladigan bo’lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c nuqtada (bunday nuqta Roll teoremasiga ko’ra topiladi) g’(c)=0 bo’lib qoladi. Bu esa (a,b) da g’(x) 0 shartga ziddir. Demak g(b) g(a).
Endi f(x) va g(x) funksiyalar yordamida quyidagi
F(x)=f(x) - f(a) - [g(x)-g(a)]

funksiyasini tuzaylik. Bu funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, (a,b) intervalda

F’(x) = f’(x) - g’(x)

hosilaga ega. So’ngra F(x) funksiyaning x=a, x=b nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a va b lar orasida shunday c(a nuqta topiladiki, F’(c)=0 bo’ladi. Shunday qilib,

0=F’(c)=f’(c) - g’(c)
va undan tenglik o’rinli ekani kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Xususan, g(x)=x bo’lganda Koshiy teoremasidan Lagranj teoremasi kelib chiqadi.
1-misol. Ushbu f(x)= funksiya (-1,1) intervalning ichki x=0 nuqtasida o’zining eng kichik qiymatiga erishsa ham, bu funksiya uchun Ferma teoremasining xulosasi o’rinli emas. Shuni ko’rsating.
Berilgan funksiya x=0 nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biroq funksiya uchun shu x=0 nuqtada chekli hosilaga
emas. Bu ushbu
= = =

nisbatning da chekli limitga ega emasligidan kelib chiqadi. Demak, Ferma teoremasining sharti bajarilmaydi. Binobarin, teoremaning xulosasi o’rinli emas.

2-misol. Ushbu funksiya uchun [0,2 ] segmentda Roll teoremasining shartlari bajariladimi?
Ravshanki, funksiya [0,2 ] segmentda uzluksiz hamda = hosilaga ega. Bu funksiyaning [0,2 ] segmentning chetki nuqtalaridagi qiymatlari f(0)=0, f(2 )=0 bo’lib, ular bir biriga teng. Demak, berilgan funksiya [0,2 ] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. [0,2 ] segmentning
, nuqtalarda funksiyaning hosilalari nolga aylanadi: