Mustaqil ish №1 chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini (Chats) kvadrat ildizlar usulida yechish



Download 29,52 Kb.
Sana27.04.2023
Hajmi29,52 Kb.
#932342
Bog'liq
asadbei


MUSTAQIL ISH №1
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI (ChATS) KVADRAT ILDIZLAR USULIDA YECHISH.

Aytaylik
𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎12 ∙ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏1
{ 𝑎21 ∙ 𝑥1 + 𝑎22 ∙ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … … … … … … … … … … … … … … . .
𝑎𝑛1 ∙ 𝑥1 + 𝑎𝑛2 ∙ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

(1)


ChATS ni yechish talab qilingan boʻlsin, quyidagicha belgilashlar kiritamiz:

𝑎11 … … 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1

𝐴 = ( ), 𝑋 = ( ), 𝐵 = ( ) (2)

𝑎𝑛1 … … 𝑎𝑛𝑛
u holda (1) ni quyidagicha
𝑥𝑛
𝑏𝑛

A*X=B (3)
matritsa koʻrinishda yozish mumkin.
ChATS ni yechishning kvadrat ildizlar usuli - aniq usul hisoblanadi. Ushbu usulni qoʻllash uchun A matritsa determinanti det(𝐴) ≠ 0 va simmetriklik shartlari bajarilishi lozim (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛). Formulalar boʻyicha hisoblash jarayonida kompleks sonlar hosil boʻlishi mumkin, buni oldini olish uchun A matrisadan yana bir shart musbat aniqlanganlik shartini talab qilamiz. Matritsa musbat aniqlangan hisoblanadi, agar barcha bosh minorlar musbat boʻlsa.

∆ = 𝑎


> 0, ∆


= |𝑎11
𝑎12| > 0, ∆
𝑎11 𝑎12 𝑎13
= |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | > 0, …………….

1 11
2 𝑎21 𝑎22
3
𝑎31
𝑎32
𝑎33

Kvadrat ildizlar usulini qoʻllashga asos boʻlib quyidagicha teorema hisoblanadi.
Teorema: Aytaylik AX=B sistema kvadrat ildizlar usuli qoʻllanilishi shartlarini bajarsin, u holda shunday S yuqori uchburchak matritsa mavjudki
𝑆𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 (4)
boʻladi.
Bunday holda boshlangʻich (3) sistemani
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ (𝑆𝑇 ∙ 𝑆) ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝑆𝑇 ∙ (𝑆 ∙ 𝑋) = 𝐵 koʻrinishda yozish mumkin. Agar 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilash kiritsak, u holda X yechimni topish algoritmi quyidagicha koʻrinishni oladi:

  1. 𝑆𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 tenglamadan S-matritsa elementlarini topamiz.

  1. 𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝐵 tenglamadan Y-ustun matritsa (vector) elementlarini topamiz.

  2. 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 tenglamadan esa X-ustun matritsa, yaʼni yechimni topamiz.

Yuqorida keltirilgan algoritmda faqatgina birinchi bosqich koʻp mehnat talab qiladi. Masalan A matritsa 4 × 4 matritsa boʻlsa, u holda S matritsani topish formulalarini keltiramiz, keyin umumiy holga oʻtamiz:

𝑠11 𝑠12
𝑠13
𝑠14
𝑠11 0 0 0

𝑆 = ( 0
𝑠22
𝑠23
𝑠24) , 𝑆𝑇 = ( 𝑠21
𝑠22
0 0 ) ⟹ 𝑆𝑇 ∗ 𝑆 = 𝐴 ⟹

0 0 𝑠33
𝑠34
𝑠31 𝑠32
𝑠33 0

0 0 0
𝑠44
𝑠41
𝑠42
𝑠43 𝑠44

𝑠11 0 0 0
𝑠11 𝑠12
𝑠13
𝑠14
𝑎11 𝑎12
𝑎13
𝑎14

( 𝑠21
𝑠22
0 0 ) ∗ ( 0
𝑠22
𝑠23
𝑠24) =
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎24)

𝑠31 𝑠32
𝑠33 0
0 0 𝑠33
𝑠34
( 𝑎31
𝑎32
𝑎33
𝑎34

𝑠41
𝑠42
𝑠43 𝑠44
0 0 0
𝑠44
𝑎41
𝑎42
𝑎43
𝑎44

𝑠11
= 𝑎11
, 𝑠1𝑖
= 𝑎1𝑖
𝑠11
, 𝑖 = 2, … , 𝑛 va hokazo. Aytaylik S matritsaning (i-1) ta

qator elementlarini topilgan boʻlsa, u holda quyidagicha umumiy formulalarga ega boʻlamiz, :




𝑠 = 𝑎
𝑖−1 𝑠2
, 𝑠
= 1 (𝑎

𝑖−1 𝑠
∗ 𝑠
) , 𝑖 = 2̅̅̅,̅̅𝑛̅ , 𝑗 = 𝑖̅̅+̅̅̅1̅̅,̅𝑛̅

𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑖𝑗
𝑆𝑖𝑖
𝑖𝑗
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑘𝑗

10 ta tenglamaga ega boʻldik. Bir qarashda masalani yanada mukamallashtirgandekmiz, lekin hosil boʻlgan Sistema juda oson yechiladi. 1- tenglamadan 𝑠11 ni, 2- tenglamadan 𝑠12 ni, ….. topib borilaveradi va natijada qidirilayotgan matrisaning barcha elementlari topiladi.
Ushbu usulni simmetrik boʻlmagan va musbat aniqlanmagan A matritsali ChATS uchun ham qoʻllash mumkin. Buning uchun usulni qoʻllashdan oldin (3) ChATS ni chapdan 𝐴𝑇 matritsaga koʻpaytirish kifoya
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝐴𝑇 ∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 natijada (3) ga ekvivalent boʻlgan sistemaga ega boʻlamiz:
𝐴̅ ∙ 𝑋 = 𝐵̅ (5)
bunda 𝐴̅ = 𝐴𝑇 ∙ 𝐴, 𝐵̅ = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 boʻlib, 𝐴̅ – matritsa simmetrik va musbat aniqlangan boʻladi, natijada kvadrat ildiz usulidan foydalansak boʻladi. (3) dan (5) ga oʻtish sistemani simmetrizatsiyalash deyiladi.
Natija 1. A matritsa determinanti
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝑆𝑇 ∙ 𝑆) =
= 𝑑𝑒𝑡 𝑆𝑇 ∙ det(𝑆) = (𝑆11 ∙ 𝑆22 ∙ … ∙ 𝑆𝑛𝑛) ∙ (𝑆11 ∙ 𝑆22 ∙ … ∙ 𝑆𝑛𝑛) =
= 𝑆2 ∙ 𝑆2 ∙ … ∙ 𝑆2 > 0
11 22 𝑛𝑛

boʻladi.
Natija 2. A matritsaning teskarisi 𝐴−1 matritsani topish uchun, 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish lozim edi, bunda 𝑒𝑖 lar birlik ortalar (i-qatorda 1, qolgan qatorlarda 0 lar turgan ustun matritsa). Aytaylik A matritsa uchun S matritsa topilgan boʻlsin, u holda
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆𝑇 ∙ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilasak, u holda
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 formulalariga ega boʻlamiz va 𝑖 = 1, … , 𝑛
boʻlganda A-1 matritsaning 1,…,n ustunidagi sonlarni topamiz.
Masalan: 𝐴 = (4 2), boʻlsin 𝐴−1−? Kvadrat ildiz usulida topilsin.
2 2

S – matritsani aniqlaymiz: S=(𝑠11 𝑠12) ⟹ 𝑠
= 𝑎 = 2

0 𝑠22 11
𝑠 = 𝑎12 = 2 = 1, 𝑠 = 𝑎

11



− 𝑠2 = 2 − 12 = 1



12 𝑠11 2
22 22 12

𝑆 = (2 1) ⟹ 𝑆𝑇 = 2 0)




1

1
0 1 (
2 0 𝑦1 1

12



𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒1 ⟹ (
1 1) (𝑦2
) = (
) ⟹ 𝑌 = ( ) 0 −12


(
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ 2 1
) ∙ (𝑥1

) = (


1/2



) ⟹ 𝑋 = (
1

2
)


𝑥
0 1 2
−1/2
−12

𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒2
2 0 𝑦1

(

)



1
( 1 𝑦2)
= (0)
1
⟹ 𝑌 = 0

(

)
1

𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ (2 1) ∙ (𝑥1) = (0) ⟹ 𝑋 = (−12)
0 1 𝑥2 1 1
u holda 𝐴−1 = ( 1/2 −1/2) boʻladi.
−1/2 1



Misol.










9𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3

9

3

4

3




{

3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1

𝐴 = (3

2

1) ,

𝐵 = ( 1 )







4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −1

4

1

2

−1

? ? ?
A simmetrik matritsa boʻlgani uchun S=(0 ? ?) -?
0 0 ?

  1. qator elementlarini 𝑠11

= 𝑎11
, 𝑠1𝑖
= 𝑎1𝑖 , 𝑖 = 2, … , 𝑛 formulalardan topamiz.
𝑠11

𝑠 = 𝑎


𝑎12 3
= √9 = 3, 𝑠 = = = 1, 𝑠

= 𝑎13 = 4


11 11
12 𝑠11 3
13 𝑠11 3




  1. qator elementlarini quyidagicha formulalar orqali topiladi:





𝑠22 = √𝑎22 ∑2−1 𝑠2 =√𝑎22 − 𝑠2 = √2 − 12 = 1
𝑘=1 𝑘𝑖 12



2−1
1
1 4 1


𝑆
𝑠23 =
22
(𝑎23 − ∑ 𝑠𝑘2 ∗ 𝑠𝑘3) = 1 (1 − 1 ∙ 3) = − 3
𝑘=1








3−1

4 2 1 2 1 1

𝑠33 = 𝑎33 − ∑ 𝑠2
= 𝑎33 − 𝑠2 − 𝑠2 = 2 − ( )

− (− ) = =


𝑘=1
𝑘𝑖


13 23
3 3 9 3


3 1 4/3
Natijada S=(0 1 −1/3) ⟹ 𝑆𝑇 = (
3 0 0
1 1 0 )

u holda


0 0 1/3
3 0 0

𝑦1


4/3 −1/3 1/3
3

𝑆𝑇 𝑌 = 𝐵 (1 1 0) (𝑦2) = ( 1
) ⟹ 𝑦 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦
= −7

4 1 1 𝑦



1 2 3

3 3 3 3 −1
4

3 1
l 3
1
𝑥1 1

𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹
0 1 −

  • (𝑥2) = ( 0 ) 𝑥1 = 12, 𝑥2 = −7, 𝑥3 = −21

I
𝗁0 0
3I 𝑥3 −7
1
3 )




2

3

det(A)= 𝑆2 ∙ 𝑆2 ∙ 𝑆2 = 32 ∙ 121 = 1
11 22 33 ( )

Har bir talabaning variant nomeri LMS dagi potok ro‘yxati bo‘yicha nomeri bilan bir xil. V-variant nomeri. V ning o‘rniga variant nomerizni qo‘yib sizga tegishli bo‘lgan ChATS ni tuzib oling.
𝑉 ∙ 𝑥 − (𝑉 + 2) ∙ 𝑦 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑧 = 4 ∙ 𝑉 + 12
{ (𝑉 + 3) 𝑥 − 𝑉 𝑦 + (𝑉 − 1) 𝑧 = 7 𝑉 − 1
(𝑉 + 2) ∙ 𝑥 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑦 − 𝑉 ∙ 𝑧 = −𝑉 − 2
Berilgan variant nomeriga mos ChATS uchun quyidagilar aniqlansin:

  1. Uch o‘zgaruvchili ChATS uchun kvadrat ildizlar usulida ildiz topilsin – 2 ball

  2. Uch o‘zgaruvchili ChATS nomaʼlumlari oldidagi koeffitsiyentlardan iborat matrisa determinanti kvadrat ildizlar usulida topilsin– 1 ball

  3. Ushbu usul dasturi mustaqil ravishda tuzilsin va quyidagicha berilgan 5 o‘zgaruvchili chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi dastur orqali yechilsin:: - 1 ball

Dasturga kiritiladigan parametrlar: o‘zgaruvchilar soni, koeffitsiyentlar, ozod hadlar;
Dasturdan chiquvchi natijalar: simmetrik matrisaga aylantirilgan A matrisa ko‘rinishi; yechimlar, A matrisa determinanti.
(𝑉 + 1) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥2 − 𝑉 ∙ 𝑥3 + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥4 − 𝑉 ∙ 𝑥5 = 4 ∙ 𝑉2 + 6 ∙ 𝑉 + 4 (𝑉 + 4) ∙ 𝑥1 − 2 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥2 + 3 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥3 − 𝑉 ∙ 𝑥4 + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥5 = 5 ∙ 𝑉2 + 24 ∙ 𝑉 + 16
(𝑉 + 2) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 4) ∙ 𝑥2 − (𝑉 + 1) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 1) ∙ 𝑥4 − (𝑉 + 3) ∙ 𝑥5 = 𝑉2 + 3 ∙ 𝑉 (𝑉 + 3) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 5) ∙ 𝑥2 (𝑉 + 1) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥4 (𝑉 + 4) ∙ 𝑥5 = 𝑉2 + 5 ∙ 𝑉 + 3
𝗅𝑉 ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 1) ∙ 𝑥2 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑥4 + (𝑉 + 4) ∙ 𝑥5 = 5 ∙ 𝑉2 + 20 ∙ 𝑉 + 17
Download 29,52 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish