MUSTAQIL ISH №1
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI (ChATS) KVADRAT ILDIZLAR USULIDA YECHISH.
Aytaylik
𝑎 11 ∙ 𝑥 1 + 𝑎 12 ∙ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑏 1
{ 𝑎 21 ∙ 𝑥 1 + 𝑎 22 ∙ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑏 2
… … … … … … … … … … … … … … … … . .
𝑎 𝑛1 ∙ 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 ∙ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
(1)
ChATS ni yechish talab qilingan boʻlsin, quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
𝑎11 … … 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1
𝐴 = ( … … … … … ), 𝑋 = (… ), 𝐵 = (… ) (2)
𝑎𝑛1 … … 𝑎𝑛𝑛
u holda (1) ni quyidagicha
𝑥𝑛
𝑏𝑛
A*X=B (3)
matritsa koʻrinishda yozish mumkin.
ChATS ni yechishning kvadrat ildizlar usuli - aniq usul hisoblanadi. Ushbu usulni qoʻllash uchun A matritsa determinanti det(𝐴) ≠ 0 va simmetriklik shartlari bajarilishi lozim (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛). Formulalar boʻyicha hisoblash jarayonida kompleks sonlar hosil boʻlishi mumkin, buni oldini olish uchun A matrisadan yana bir shart musbat aniqlanganlik shartini talab qilamiz. Matritsa musbat aniqlangan hisoblanadi, agar barcha bosh minorlar musbat boʻlsa.
∆ = 𝑎
> 0, ∆
= |𝑎11
𝑎12| > 0, ∆
𝑎11 𝑎12 𝑎13
= |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | > 0, …………….
1 11
2 𝑎21 𝑎22
3
𝑎31
𝑎32
𝑎33
Kvadrat ildizlar usulini qoʻllashga asos boʻlib quyidagicha teorema hisoblanadi.
Teorema: Aytaylik AX=B sistema kvadrat ildizlar usuli qoʻllanilishi shartlarini bajarsin, u holda shunday S yuqori uchburchak matritsa mavjudki
𝑆 𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 (4)
boʻladi.
Bunday holda boshlangʻich (3) sistemani
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ (𝑆 𝑇 ∙ 𝑆 ) ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝑆 𝑇 ∙ (𝑆 ∙ 𝑋) = 𝐵 koʻrinishda yozish mumkin. Agar 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilash kiritsak, u holda X yechimni topish algoritmi quyidagicha koʻrinishni oladi:
𝑆𝑇 ∙ 𝑆 = 𝐴 tenglamadan S-matritsa elementlarini topamiz.
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝐵 tenglamadan Y-ustun matritsa (vector) elementlarini topamiz.
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 tenglamadan esa X-ustun matritsa, yaʼni yechimni topamiz.
Yuqorida keltirilgan algoritmda faqatgina birinchi bosqich koʻp mehnat talab qiladi. Masalan A matritsa 4 × 4 matritsa boʻlsa, u holda S matritsani topish formulalarini keltiramiz, keyin umumiy holga oʻtamiz:
𝑠11 𝑠12
𝑠13
𝑠14
𝑠11 0 0 0
𝑆 = ( 0
𝑠22
𝑠23
𝑠24) , 𝑆𝑇 = ( 𝑠21
𝑠22
0 0 ) ⟹ 𝑆𝑇 ∗ 𝑆 = 𝐴 ⟹
0 0 𝑠33
𝑠34
𝑠31 𝑠32
𝑠33 0
0 0 0
𝑠44
𝑠41
𝑠42
𝑠43 𝑠44
𝑠11 0 0 0
𝑠11 𝑠12
𝑠13
𝑠14
𝑎11 𝑎12
𝑎13
𝑎14
( 𝑠21
𝑠22
0 0 ) ∗ ( 0
𝑠22
𝑠23
𝑠24) =
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎24) ⟹
𝑠31 𝑠32
𝑠33 0
0 0 𝑠33
𝑠34
( 𝑎31
𝑎32
𝑎33
𝑎34
𝑠41
𝑠42
𝑠43 𝑠44
0 0 0
𝑠44
𝑎41
𝑎42
𝑎43
𝑎44
𝑠11
= √𝑎11
, 𝑠1𝑖
= 𝑎1𝑖
𝑠11
, 𝑖 = 2, … , 𝑛 va hokazo. Aytaylik S matritsaning (i-1) ta
qator elementlarini topilgan boʻlsa, u holda quyidagicha umumiy formulalarga ega boʻlamiz, :
𝑠 = √𝑎
− ∑𝑖−1 𝑠2
, 𝑠
= 1 (𝑎
− ∑𝑖−1 𝑠
∗ 𝑠
) , 𝑖 = 2̅̅̅,̅̅𝑛̅ , 𝑗 = 𝑖̅̅+̅̅̅1̅̅,̅𝑛̅
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑖𝑗
𝑆𝑖𝑖
𝑖𝑗
𝑘=1
𝑘𝑖
𝑘𝑗
10 ta tenglamaga ega boʻldik. Bir qarashda masalani yanada mukamallashtirgandekmiz, lekin hosil boʻlgan Sistema juda oson yechiladi. 1- tenglamadan 𝑠11 ni, 2- tenglamadan 𝑠12 ni, ….. topib borilaveradi va natijada qidirilayotgan matrisaning barcha elementlari topiladi.
Ushbu usulni simmetrik boʻlmagan va musbat aniqlanmagan A matritsali ChATS uchun ham qoʻllash mumkin. Buning uchun usulni qoʻllashdan oldin (3) ChATS ni chapdan 𝐴𝑇 matritsaga koʻpaytirish kifoya
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝐴𝑇 ∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 natijada (3) ga ekvivalent boʻlgan sistemaga ega boʻlamiz:
𝐴̅ ∙ 𝑋 = 𝐵̅ (5)
bunda 𝐴̅ = 𝐴𝑇 ∙ 𝐴, 𝐵̅ = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 boʻlib, 𝐴̅ – matritsa simmetrik va musbat aniqlangan boʻladi, natijada kvadrat ildiz usulidan foydalansak boʻladi. (3) dan (5) ga oʻtish sistemani simmetrizatsiyalash deyiladi.
Natija 1. A matritsa determinanti
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝑆𝑇 ∙ 𝑆) =
= 𝑑𝑒𝑡 𝑆𝑇 ∙ det(𝑆) = (𝑆11 ∙ 𝑆22 ∙ … ∙ 𝑆𝑛𝑛) ∙ (𝑆11 ∙ 𝑆22 ∙ … ∙ 𝑆𝑛𝑛) =
= 𝑆2 ∙ 𝑆2 ∙ … ∙ 𝑆2 > 0
11 22 𝑛𝑛
boʻladi.
Natija 2. A matritsaning teskarisi 𝐴−1 matritsani topish uchun, 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 , n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish lozim edi, bunda 𝑒𝑖 lar birlik ortalar (i-qatorda 1, qolgan qatorlarda 0 lar turgan ustun matritsa). Aytaylik A matritsa uchun S matritsa topilgan boʻlsin, u holda
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆𝑇 ∙ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 deb belgilasak, u holda
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒𝑖 ⟹ 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 formulalariga ega boʻlamiz va 𝑖 = 1, … , 𝑛
boʻlganda A-1 matritsaning 1,…,n ustunidagi sonlarni topamiz.
Masalan: 𝐴 = (4 2), boʻlsin 𝐴−1−? Kvadrat ildiz usulida topilsin.
2 2
S – matritsani aniqlaymiz: S=(𝑠11 𝑠12) ⟹ 𝑠
= √𝑎 = 2
0 𝑠22 11
𝑠 = 𝑎12 = 2 = 1, 𝑠 = √𝑎
11
− 𝑠2 = √2 − 12 = 1
12 𝑠11 2
22 22 12
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒1 ⟹ (
1 1) ∙ (𝑦2
) = (
) ⟹ 𝑌 = ( ) 0 −1⁄2
(
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ 2 1
) ∙ ( 𝑥1
) = (
1/2
) ⟹ 𝑋 = (
1 ⁄
2
)
𝑥
0 1 2
−1/2
−1⁄2
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝑒2 ⟹
2 0 𝑦1
(
)
∙
1
( 1 𝑦2)
= (0)
1
⟹ 𝑌 = 0
(
)
1
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹ ( 2 1) ∙ ( 𝑥1) = ( 0) ⟹ 𝑋 = (−1 ⁄2)
0 1 𝑥2 1 1
u holda 𝐴 −1 = ( 1/2 −1/2) boʻladi.
−1/2 1
Misol.
|
|
|
|
9𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3
|
9
|
3
|
4
|
3
|
|
{
|
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
|
⟹ 𝐴 = (3
|
2
|
1) ,
|
𝐵 = ( 1 )
|
|
|
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −1
|
4
|
1
|
2
|
−1
|
? ? ?
A – simmetrik matritsa boʻlgani uchun S=(0 ? ? ) -?
0 0 ?
qator elementlarini 𝑠11
= √𝑎11
, 𝑠 1𝑖
= 𝑎1𝑖 , 𝑖 = 2, … , 𝑛 formulalardan topamiz.
𝑠11
𝑠 = √𝑎
𝑎 12 3
= √9 = 3, 𝑠 = = = 1, 𝑠
= 𝑎 13 = 4
11 11
12 𝑠11 3
13 𝑠11 3
qator elementlarini quyidagicha formulalar orqali topiladi:
𝑠 22 = √𝑎 22 − ∑2−1 𝑠 2 =√𝑎 22 − 𝑠 2 = √2 − 1 2 = 1
𝑘=1 𝑘𝑖 12
2−1
1
1 4 1
𝑆
𝑠23 =
22
(𝑎23 − ∑ 𝑠𝑘2 ∗ 𝑠𝑘3) = 1 (1 − 1 ∙ 3) = − 3
𝑘=1
3−1
4 2 1 2 1 1
𝑠33 = √𝑎33 − ∑ 𝑠2
= √𝑎33 − 𝑠2 − 𝑠2 = √2 − ( )
− (− ) = √ =
3 1 4/3
Natijada S=(0 1 −1/3) ⟹ 𝑆𝑇 = (
3 0 0
1 1 0 )
u holda
0 0 1/3
3 0 0
𝑦1
4/3 −1/3 1/3
3
𝑆𝑇 ∙ 𝑌 = 𝐵 ⟹ (1 1 0) ∙ (𝑦2) = ( 1
) ⟹ 𝑦 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦
= −7
4 1 1 𝑦
1 2 3
3 − 3 3 3 −1
4
3 1
l 3
1
𝑥1 1
𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 ⟹
0 1 −
(𝑥2) = ( 0 ) ⟹ 𝑥1 = 12, 𝑥2 = −7, 𝑥3 = −21
I
𝗁0 0
3I 𝑥3 −7
1
3 )
2
3
det(A)= 𝑆2 ∙ 𝑆2 ∙ 𝑆2 = 32 ∙ 12 ∙ 1 = 1
11 22 33 ( )
Har bir talabaning variant nomeri LMS dagi potok ro‘yxati bo‘yicha nomeri bilan bir xil. V-variant nomeri. V ning o‘rniga variant nomerizni qo‘yib sizga tegishli bo‘lgan ChATS ni tuzib oling.
𝑉 ∙ 𝑥 − (𝑉 + 2) ∙ 𝑦 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑧 = 4 ∙ 𝑉 + 12
{ (𝑉 + 3) ∙ 𝑥 − 𝑉 ∙ 𝑦 + (𝑉 − 1) ∙ 𝑧 = 7 ∙ 𝑉 − 1
−(𝑉 + 2) ∙ 𝑥 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑦 − 𝑉 ∙ 𝑧 = −𝑉 − 2
Berilgan variant nomeriga mos ChATS uchun quyidagilar aniqlansin:
Uch o‘zgaruvchili ChATS uchun kvadrat ildizlar usulida ildiz topilsin – 2 ball
Uch o‘zgaruvchili ChATS nomaʼlumlari oldidagi koeffitsiyentlardan iborat matrisa determinanti kvadrat ildizlar usulida topilsin– 1 ball
Ushbu usul dasturi mustaqil ravishda tuzilsin va quyidagicha berilgan 5 o‘zgaruvchili chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi dastur orqali yechilsin:: - 1 ball
Dasturga kiritiladigan parametrlar: o‘zgaruvchilar soni, koeffitsiyentlar, ozod hadlar;
Dasturdan chiquvchi natijalar: simmetrik matrisaga aylantirilgan A matrisa ko‘rinishi; yechimlar, A matrisa determinanti.
(𝑉 + 1) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥2 − 𝑉 ∙ 𝑥3 + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥4 − 𝑉 ∙ 𝑥5 = 4 ∙ 𝑉2 + 6 ∙ 𝑉 + 4 (𝑉 + 4) ∙ 𝑥1 − 2 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥2 + 3 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥3 − 𝑉 ∙ 𝑥4 + 4 ∙ 𝑉 ∙ 𝑥5 = 5 ∙ 𝑉2 + 24 ∙ 𝑉 + 16
(𝑉 + 2) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 4) ∙ 𝑥2 − (𝑉 + 1) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 1) ∙ 𝑥4 − (𝑉 + 3) ∙ 𝑥5 = 𝑉2 + 3 ∙ 𝑉 (𝑉 + 3) ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 5) ∙ 𝑥2 − (𝑉 + 1) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥4 − (𝑉 + 4) ∙ 𝑥5 = 𝑉2 + 5 ∙ 𝑉 + 3
𝗅𝑉 ∙ 𝑥1 + (𝑉 + 1) ∙ 𝑥2 + (𝑉 + 2) ∙ 𝑥3 + (𝑉 + 3) ∙ 𝑥4 + (𝑉 + 4) ∙ 𝑥5 = 5 ∙ 𝑉2 + 20 ∙ 𝑉 + 17
Do'stlaringiz bilan baham: |