Мустақил таълим ва мустақил ишлар «Иқтисодий математика»

Анализ (таҳлил) ва синтез, фильтр қилиш — берилган муаммони ҳал қилиш учун зарур маълумотларни турли хил манбалардан тўплаш, тартибга солиш, таҳлил қилиш; ўрганилган бир бутун материални майда бўлакларга, таркибий қисмларга ажрата олиш ва улар орасида муносабатларни ўрнатиш ва таҳлил қила олиш; аниқланган хусусий натижаларни умумлаштириб, асосийларини ажратиш, хулоса чиқара олиш. Танқидий фикрлаш ва тизимли фикрлаш - Масалани англашда ва мураккаб қарорлар қабул қилишда пухта далиллар келтиришдан фойдаланиш; тизимлар воқеалар ва ходисалар, вазиятлар ўртасидаги узвий боғлиқликни англаш.

Баҳолаш ва хулоса чиқариш — муаммоли вазиятни маълум ички ёки ташқи мезонлар асосида баҳолаш ва таққослаш, сабаб ва оқибатларини ўрганиш, натижаларни таҳлил қилиш асосида танқидий фикрлаш, хулос чиқариш.

4. КАТТА СОНЛАР ҚОНУНИ — эҳтимоллар назариясида катта миқдордаги тасодифий омилларнинг умумий таъсири (етарлича кенг шартлар бажарилганда) тасодифга деярли боғлиқ бўлмай қолишини ифодаловчи қонун; дастлаб 1713 й. да Я. Бернулли топган (қ. Бернулли).

Агар тасодифий миқдорлар кетмакетлиги учун j]+&+-+4нинг миқдордан (бу ерда М^. — тасодифий микдорнинг ўрта қиймати) фарқи ҳар қандай мусбат е сонидан кичик бўлиш эҳтимоли п ортиши билан 1 га интилса, бу тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги Катта сонлар қонунига бўйсунади дейилади. Кузатилаётган бирор тасодифий А ҳодиса п та тажрибанинг хл тасида рўй берган бўлса, ҳар қандай е>0 учун p\~jf ~ р к е) нинг и – > «о даги лимита 1 га тенг, бунда р сони А ҳодисанинг битта тажрибада рўй бериш эҳтимоли. Ушбу теоремага кўра, тасодифий ҳодиса А нинг номаълум эҳтимоли р ни унинг частотаси ^~ билан (п катта бўлганда) алмаштириш мумкин: р = ~ . Бернуллининг бу теоремасини П. Л. Чебишев умумлаштириб, Катта сонлар қонунининг бажарилиши учун етарли шартлар топган. Катта сонлар қонунининг турли масалалари билан А. А. Марков, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин ва б., Ўзбекистонда Т. А. Саримсоқов, С. Ҳ. Сирожиддинов ва б. шуғулланган.
5. . Агар ўзаро боғлиқ бўлмаган, бирхил тақсимланганХ₁, Х₂, ..., Х_n … тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги нолдан фарқли чекли дисперсияга 0<Д(Х_к)<¥ эга бўлса, n®¥билан барча х учун
марказий лимит теорема ўринли бўлади.
Эҳтимоллар назариясининг кейинги тадқиқотлари шуни кўрсатадики, бир-биридан катта фарқ қилмайдиган тасодифий миқдорлар йигиндиси янада умумий шартда ҳам нормал тақсимотга эга бўлади. Бу тасдиқ кўплаб амалий масалаларни ечишда қўлланилади.
Маълумки, қишлоқ хўжалик экинлари етарли катта майдонларда экилиб, улар қарийиб бир хил шароитда етиштирилади, яъни қалинликлари бир хил, агротехник ишловлар, парвариш қилиш барча майдон учун бир вақтда амалга оширилади. Шу сабабли, аксарият қишлоқ хўжалик экинларини ўртача ниҳоллари сони, бўйини узунлиги,  ҳар биридаги ўртача ҳосил миқдори эҳтимоллар назариясининг марказий лимит теоремасига асосан, нормал тақсимотга эга бўлади.
Эҳтимоллар назариясининг марказий лимит теоремасини қишлоқ хўжалигида қўлланилишига доир мисоллар келтирамиз.
Мисол-1. Норма бўйича 1 га ерга ўртача кг туксиз чигит экилади. Аслида 1 га майдонга кетадиган чигит миқдори тасодифий миқдор бўлиб, унинг ўртача квадратик четланиши кг бўлсин.Фермер хўжалигини 100 га ерига, 97% ли кафолат билан экладиган чигит миқдорини аниқланг.
Ечиш. Х_i-тасодифий миқдор биланi^чи га ерга кетадиган чигит миқдорини белиглаймиз, масала шартига асосан, сеялка ҳарбир га ерга 45 кг дан чигит ташлаши лозим, яъни улар барча майдон учун бир ҳил тақсимланганM(X_i)=а =45 кг, (i=1,100)
АгарS₁₀₀ билан 100 га ерга кетадиган чигит миқдорини белгиласак,
S₁₀₀ = Х₁+Х₂+...+Х₁₀₀= бўлади,
бу ерда Х₁, Х₂, ..., Х₁₀₀ ўзаро боғлиқ бўлмаган бир хил тақсимланган тасодифий миқдорлардир. Эҳтимоллар назариясининг марказий лимит теоремасига асосан S₁₀₀ тақрибан қуйидагича параметрли нормал тақсимланган тасодифий миқдор бўлади
M(X)=M(x_i)=100х45=4500кг =4,5т, Д(Х)= Д(Х_i)=100х5²=2500,
ўртача квадратик четланишит
bбилан 100 га ерни камида 97% га етадиган чигит миқдорини белгилаймиз. Масала шартига асосан P{X100тасодифий миқдорни N(4,5; 0,05) параметрли нормал тақсимланган тасодифий миқдор деб қарашимиз мумкин.
Бизга Х₁, Х₂, ..., Х_n…. ўзаро боғлиқ бўлмаган тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги берилган бўлсин. Шу тасодифий миқдорларни S_n=Х₁+Х₂+...+Х_nйигиндисини қараймиз. Қандай шартда n та тасодифий миқдорлар йиғиндиси S_n нормал тақсимотга эга бўлади? Бу саволга жавоб берувчи барча теоремалар, эҳтимоллар назариясининг марказий лимит теоремаси дейилади. Биринчи марта умумийроқ шартда марказий лимит теоремани ХХ аср бошида рус олими А.М.Ляпунов исботлаган.
Фараз қилайлик ўзаро боғлиқ бўлмаган Х₁,Х₂, ..., Х_n тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги чекли М(Х_к) =а_к , Д(Х_к) =6_к² (к=1, 2, ...) математик кутилиш ва дисперсияларга эга бўлсин. Қуйидаги белгилашларни киритамиз:
MS_n=MX₁+MX₂+...+MX_n=a₁+a₂+...+a_n=A_n
ДS_n=ДX₁+ДX₂+...+ДX_n=6₁²+6₂²+...+6_n²=B_n²

Талаб қилинган тасодифий миқдорларга қандай шарт қўйилганда, қуйидаги йиғиндистандарт нормалтақсимотга яқинлашади? Бу саволга жавоб берувчи етарли шартлардан айримларини келтирамиз.