Musbat hadli qatorlarning yaqinlashish teoremalari. Leybnis teoremasi

2. Qator qoldig’ini baholash.
2-Teorema: Agar ishoralari navbatlanuvchi qator Leybnits teoremani shartini qanoatlantirsa u holda uning n qoldig’i absolyut qiymati bo’yicha tashlab yuborilgan hadlarning birinchisining modulidan kata bo’lmaydi.

Misol: qator yig’indisini gacha aniqlikda toping qator Leybnits tenglamasiga ko’ra yaqinlashuvchi.



Demak :


O’zgaruvchan ishorali qatorlar.

Agar qatorning hadlari orasida musbatlari ham manfiylari ham bo’lsa u holda bunday qator o’zgaruvchan ishorali qator deyiladi.

Bu erda lar har xil ishorali sonlar.
YUqoridagi ishorasi navbatlanuvchi qatorlar o’zgaruvchan ishorali qatorlarning xususiy holidir.


Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.

Bizga o’zgaruvchan ishorali qator berilgan bo’lsin.

(17.11)
SHu qatorni hadlaridan tuzilgan absolyut qiymatli quyidagi qatorni qaraymiz.
(17.12)
Teorema : (Absolyut yaqinlashuvchi qatorning yaqinlashish xaqidagi teorema). Agar (17.12) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (17.12) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Eslatma: Bu teoremani teskarisi har doim ham to’g’ri bo’lavermaydi.
1–Ta’rif: Agar (17.12) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (17.11) qator absolyut yaqinlashuvchi qator deb ataladi.
2–Ta’rif: Agar (17.11) qator yaqinlashuvchi bo’lib (17.12) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (17.11) qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi.
1 – Misol:
1) Leybnits teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi
2) Leybnits teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi
3) uzoqlashuvchi.
Javob: Qator shartli yaqinlashuvchi.
2 – Misol:
1) yaqinlashuvchi.
2) yaqinlashuvchi.
3)
a) Umumlashgan garmonik qator bo’lgani uchun qator yaqinlashuvchi.
b) yaqinlashuvchi.
Javob: Berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi.

3) Misol:

Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
a) Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda bu qator hadlarining o’rni har qancha almashtirilganda ham u absolyut yaqinlashuvchi bo’lib qolaveradi, bunda qatorning yig’indisi uning hadlari tartibiga bog’liq bo’lmaydi (bu xossa shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun saqlanmaydi).
b) Agar qator shartli yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda bu qator hadlarining o’rinlarini shunday almashtirib qo’yish mumkinki , natijada uning yig’indisi o’zgaradi buning ustiga almashtirishdan keyin hosil bo’lgan qator uzoqlashuvchi qator bo’lib qolishi mumkin.
Misol: SHartli yaqinlashuvchi qatorni qaraymiz

Qator hadlarini 1 ta “+” lik had, 2 ta “–“ lik had qilib joylashtiramiz.
, ,
SHunday qatorni yig’indisi ga teng bo’lib qoldi.
SHunday qilib.
1) Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarni o’rin almashtirish va o’rinlashtirish mumkin.
2) SHartli yaqinlashuvchi qatorlar o’rin almashtirish va o’rinlashtirish xossalariga ega emas.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarni hadma had qo’shish ayirish va ko’paytirish mumkin.
SHartli yaqinlashuvchi qatorlar bunday xossaga ega emas.


O’z-o’zini tekshirish savollari.
1. Sonli qatorlar nima?.
2. Musbat hadli qatorlarning yaqinlashish teoremalari qanday?.
3. Leybnis teoremasi qanday?
4. Absolyut va shartli yaqinlashish deganimiz nima?