Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

2.1. Teorema Faraz qilaylik U_i, i= intervallar (2.11) - (2.13) formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U xolda ixtiyoriy sϵS, fϵ F sistema uchun yechim mavjud, yagona va
Boshqacha aytganda, detS 0, sϵ S и
Shunday qilib, Gauss metodi bo‘yicha interval arifmetika yordamida hisoblashlar (EHM da) oxirigacha olib borilsa, u xolda ko‘rish mumkinki xuddi xaqiqiy sonli sistemalar koeffitsiyentlari va o‘ng tomonlari mos ravishda tegishli intervallar ichida yotadi.
Yuqoridagilardan kuyidagi qiziq savol kelib chiqadi. Faraz qilaylik det s 0 sϵϵS bo‘lsin. Bu xolda Gauss metodini oxirigacha hisoblash mumkinmi? Javob salbiy bo‘ladi. Ushbu misolni keltiramiz.
2.1 Misol . Quyidagi intervalli matritsani qarab chiqamiz
.
Intervalli Gauss metodi hisoblashlarini o‘tkazib, ketma-ket ravishda kuyidagilarga ega bo‘lamiz
,
.
Agar bo’lsa u holda bo’lib Gauss usulini qo’llash imkoniyati amalga oshmaydi
0,62> ni olaylik, ixtiyoriy sϵS(0,62) matritsa uchun dets 0 . Matritsa kuyidagi ko‘rinishga ega
,
(x, y, z, u, v, w)ϵ D = [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62] [0, 0.62]
Va uning diterminanti det s = 1 + wxy + uvz + wz - ux - yv = f( x, y, z, u, v, w ). Qiyin bo‘lmagan ammo ko‘p xisoblashlar natijasida barcha (x, y, z, u, v,w) D lar uchun
f(x, y, z, u, v, w) >0 ni topish mumkin. Demak, keltirilgan misol ko‘rsatadiki, odatdagi Gauss metodidan intervalli analoga o‘tish natijasida metodning afzalliklari yomonlashadi.
2.3. Intervalli matritsalar ustida amallar

(2.6) tenglamalar sistemasini yechishning usullaridan biri teskari matritsalarni ishlatishdan iboratdir. Haqiqatdan ham, agar bizga T matritsa quyidagi ko‘rinishda ma’lum bo‘lsa,

,
U holda sistemaning yechimlar to‘plami TF: U TF hosil bo‘ladi.
Birinchi marta bunday matritsalarni topishni intervalli metodini Xansen taklif etgan. Intervalli arifmetikada bir qancha kattaliklar aprior baholanishi kombinatsiyalaridan foydalaniladi.
s* ϵ S (masalan, s* = m(S)) matritsani tanlaymiz va к * ga t – yaqinlashuvchi matritsani qandaydir usul bilan hisoblaymiz. P = e – St tenlik bilan P ni aniqlaymiz, bu yerda e - birlik matritsa. Shuni aytish lozimki, ||P||<1 ekanligi talab etiladi. U holda ixtiyoriy haqiqiy p ϵ P matritsalar uchun quyidagilar o‘rinnli:

Belgilash kiritamiz, Tengsizliklar mavjud

Agar s ϵ S bo‘lsa, у xolda t - st = p ϵ P bo‘ladi, demak, , qaysiki
. (2.14)
Faraz qilaylik, barcha elementlari ga teng bo‘lgan - matritsa berilgan bo‘lsin. (2.14) dan egamiz.
Quyidagi Rm munosabat bo‘yicha intervalli matritsani aniqlaymiz
Rm = ( ... ((P + e)P + e)P + ..) + e (m ta yig‘indi).
U holda ixtiyoriy s ϵS matritsa uchun .
Shundan so‘ng . – aynimagan haqiqiy matritsa bo‘lsin, matritsa esa shartni qanoatlantirsin.
s ga yuqori aniqlikda intervalli yaqinlashuvchi iterativ jarayonni qaraymiz:
, k >1. (2.15)
Quyidagi tasdiq o‘rinlidir: