Mundarija: Kirish I bob. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi

1.3 Aniqmas integralni hisoblash usullari
Aniqmas integralni hisoblashda integral ostidagi funksiyaning boshlang`ich funksiyasi topiladi. Bu boshlang`ich funksiya yuqorida keltirilgan integral xossalaridan hamda integrallar jadvalidan foydalanib topiladi. Bundan tashqari integrallashda o`zgaruvchini almashtirish va bo`laklab integrallash usullaridan foydalaniladi.
O’zgaruvchini almashtirish usuli-Bu usul bilan integrallashda o`zgaruvchi x yangi o`zgaruvchi t bilan ma`lum munosabatda shunday almashtiriladiki, natijada oddiy integralga ega bo`linadi.
Bizga berilgan bo`lsin. almashtirishni olaylik. Bundan ni topib, uni berilgan integralga qo`ysak, ko`yidagini hosil qilamiz:

Bu esa berilgan integralga nisbatan ancha sodda bo`ladi. Umuman integral hisoblanganda turli almashtirishlar yordamida berilgan integral, jadvaldagi integrallardan birortasiga keltiriladi.So`ngra jadvaldan boshlang`ich funksiya aniqlanadi.
Ba`zan berilgan integralda o`rniga almashtirish yaxshi natija beradi. Agar integral ko`rinishda berilgan bo`lsa, bunda almashtirish bilan integral juda soddalashadi. Haqiqatdan,


Bundan ko`rinadiki o`zgaruvchini almashtirish bilan integrallaganda, chiqqan natija yana avvalgi o`zgaruvchi yordamida ifodalanar ekan, ya`ni t o`zgaruvchidan x o`zgaruvchiga o`tilar ekan.
Misol. Qo`yidagi integral hisoblansin:
bunda 1+2cosx=t deb olamiz.
Bu holda -2sinxdx=dt bo`ladi. Demak,





Bo’laklab integrallash usuli - Bizga ikkita diferensiallanuvchi u(x) va v(x) funksiyalar berilgan bo`lsin. Bu funksiyalar ko`paytmasi (uv) ning differensialini topaylik. Bu differensial quyidagicha aniqlanadi:
d(uv)=udv+vdu
Buni ikki tomonini hadma-had integrallab, quyidagini topamiz:


Oxirgi topilgan ifoda bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.
Bu formulani ko`llab integral hisoblaganda ko`rinishdagi integral, ancha sodda bo`lgan ko`rinishdagi integralga keltiriladi.
Agar integral ostida u=lnx funksiya, yoki ikkita funksiyaning ko`paytmasi, hamda teskari trigonometrik funksiyalar qatnashgan bo`lsa,bunda bo`laklab integrallash formulasi qo`llaniladi. Bu usul bilan integrallaganda yangi o`zgaruvchiga o`tishning hojati yo`q.
Umuman aniqmas integralni hisoblaganda topilgan natija yoniga o`zgarmas (S=const) ni qo`shib qo`yish shart. Aks holda integralning bitta qiymati topilib, qolganlari tashlab yuborilgan bo`ladi. Bu esa integrallashda xatolikka yo`l qo`yilgan deb xisoblanadi.
Misol. [4] ni hisoblang.

(bunda S=0 deb olindi) formulani qo`llaymiz.

ni alohida hisoblaymiz

buni (*)gaqo`yamiz.