Mundarija: Kirish I bob. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi

1-ta’rif. Agar _{ } da _{ }funksiya biror _{ }funksiyaning hosilasiga teng, ya’ni _{ } intervaldan olingan ixtiyoriy _{ }uchun _{ }bo‘lsa, u holda _{ } funksiya _{ } intervalda _{ } funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Masalan,

1. 
   _{ }bo‘lsin. Bu funksiyaning _{ } intervalda boshlang‘ich funksiyasi _{ }bo‘ladi, chunki _{ } da _{ } [3]
   
2. 
   _{ } ning _{ } oraliqda boshlang‘ich funksiyasi_{ }bo‘lishi ravshan.
   

Ravshanki, agar biror oraliqda _{ }funksiya _{ }ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas _{ }son uchun

funksiya ham _{ }ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki

Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: agar _{ }funksiya biror boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, u holda uning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Quyidagi savol tug‘ilishi tabiiy: biror oraliqda berilgan _{ }funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari _{ } formula bilan ifodalanadimi, boshqacha aytganda _{ }funksiyaning _{ } formula bilan ifodalanmaydigan boshlang‘ich funksiyalari mavjudmi?
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
1-teorema. Agar biror oraliqda _{ }funksiya _{ }ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda _{ }funksiyaning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi _{ } o‘zgarmasning biror qiymatida _{ } formula yordamida ifodalanadi. [1]
Isboti.Faraz qilaylik _{ }funksiya qaralayotgan oraliqda _{ }funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Ushbu _{ }yordamchi funksiyani qaraymiz. Bu funksiya uchun _{ }bo‘ladi, ya’ni, qaralayotgan oraliqda _{ }funksiya uchun funksiyaning doimiylik sharti bajariladi. Boshqacha aytganda _{ } ya’ni _{ }bo‘ladi. Demak, _{ } funksiya _{ } formuladan _{ }ning biror qiymatida hosil bo‘ladi.
Shunday qilib, agar oraliqda berilgan _{ }funksiyaning bitta _{ }boshlang‘ich funksiyasi ma’lum bo‘lsa, u holda uning barcha boshlang‘ichfunksiyalari _{ } bu yerda _{ }ixtiyoriy o‘zgarmas son, ko‘rinishda ifodalanarekan.