Mundarija: Kirish I. Bob. Aniq integrallarning xossalari va ularning geometrik tadbiqlari

8. Inersiya momentini aniq integral yordami bilan hisoblsh
XOY tekislikda massalari bo’lgan moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. Mexanikadan ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining O nuqtada nisbatan inersiya momenti:

(12)
bunda
Faraz qilamiz, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo’lib, u tenglama bilan berilgan bo’lsin va [a, b] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsin, Egri chiziqning chiziqli zichligi gat eng bo’lsin. Bu chiziqni uzunliklari bo’lgan n ta bo’laklarga bo’lamiz, bunda ularning massalari bo’lsin. Yoyning har bir qismida absissasi va ordinatasi bo’lgan nuqtalar olamiz. Yoyning 0 nuqtaga nisbatan inersiya momenti:
(13)
Agar funksiya va uning hosilasi uzluksiz bo’lsa, u holda da (13) yig’indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini ifodalaydi:
(14)
1. Uzunligi l bo’lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga nisbatan inersiya momenti.
Tayoqchani OX o’q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz.



0 x x
8-rasm

Bu holda

(14) formula qo’yidagi ko’rinishni oladi:
(15)
Agar tayoqchaning massasi M berilgan bo’lsa, u holda va (15) formula qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:
(16)
2. Radiusi r bo’lgan aylananing markaziga nisbatan inersiya momenti.
Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo’lgan va massasi bo’lgani uchun, aylananing inersiya momenti qo’yidagicha bo’ladi:
(17)
3. Radiusi R bo’lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momenti.

Doirani n halqalarga ajratamiz. S-doira yuzi birligining massasi bo’lsin. Bitta halqani olib qaraymiz.

y

R x
9-rasm

Bu halqaning ichki radiusi r_i tashqi radiusi bo’lsin. Bu halqaning massasi ga teng bo’ladi. Bu massaning markazga nisbatan inersiya momenti (17) formulaga muvofiq taqriban qo’yidagiga teng bo’ladi:

Butun doiraning inersiya momenti:

da limitga o’tib, doira yuzining markazga nisbatan inersiya momentini hosil qilamiz:
Agar doiraning massasi M berilgan bo’lsa, u holda sirt zichligi qo’yidagiga teng bo’ladi: Bu qiymatni (18) ga qo’ysak:
(19)