Mundarija Kirish Asosiy qism

1. Bo`laklab integrallash usuli.

Bizga differensiallanuvchi bo`lgan U(x) va V(x) funksiyalari berilgan bo`lsin.

bizga ma`lumki, d( U V)= VdU+UdV edi.
Bu yyerdan UdV ni topsak, UdV=d(UV)-VdU bo`ladi. Bu tengliklarni integrallasak, UdV=d(UV)-VdU,  UdV=UV - VdU
Bu formula aniqmas integralda bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.
Misol. I= xlnxdx ni hisoblang.
U=lnx dU= dx dV=xdx V=
I=xlnxdx= x²-  dx= x²-  = (lnx- )+c
Tekshirish. f(x)dx=F(x)+c F′(x)=[ (lnx- )+c]′=

=2 (lnx- )+x² =xlnx- + =xlnx=f(x).

Misol. I=arctg dx integralni hisoblansin.

U=arctg bo`lsa dU= dV=dx desak V=x bo`ladi. Bo`laklab integrallash formulasiga ko`ra

integralda =t desak, x=t², dx=2tdt bo`lib

Bularga ko`ra berilgan integral quyidagiga teng bo`ladi.

Bo`laklab integrallash usuli. Faraz qilaylik, va funksiyalar da uzluksiz , hosilalarga ega bo`lsin.
Ravshanki, bo`ladi. Demak, funksiya funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi. Bundan bo`lishi kelib chiqadi.
Aniqmas integralning 3) va 4) xossalaridan foydalanib (5) bo`lishini topamiz. (5) formuladan quyidagicha (5`) ham yozish mumkin.
Bu (5`) folrmula bo`laklab integrallash formulasi deyiladi. Uning yordamida integralni hisoblash integraln hisoblashga keltiriladi.
Misol. integral hisoblansin. Bo`laklab integrallash formulasidan foydalanibtopamiz.:
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Qaralayotgan deyilsa, unda bo`ladi. Bo`laklab integrallash formulasidan foydalanib topamiz.

demak, . Ma`lumki bo`lishi kelib chiqadi.

Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda
Deb olsak, unda bo`ladi. (5) formuladan foydalanib topamiz.
Natijada bo`ladi. Bu tenglikdan (6)
Bo`lishi kelib chiqadi.
Odatda (6) munosabat rekkurent formula deyiladi. Ravshanki, bo`ladi.
bo`lganda mos integrallar (6) rekkurent formula yordamida topaladi. Masalan. bo`ladi.