Mundarija Kirish Asosiy qism

Ta`rif: f(x) funksiyasini boshlang`ich funksiyasining umumiy ko`rinishi F(x)+C ni topish amaliga integrallash amali deyiladi. Bu ta`rifdan ko`rinadiki, f(x)-funksiyani integrallash amali shu funksiyani hosila olish yoki differentsiallash amaliga nisbatan teskari bo`lgan amal ekan. Integrallash amali quyidagi muhim xossalarga ega:
1-Xossa. Agar differentsiallash belgisi integrallash belgisidan oldin kelsa, ular o`zaro teskari amallar bo`lgani uchun bir-birini yo`qotadi:
df(x)dx=f(x)dx


2-Xossa. Differentsial belgisi integral belgisidan keyinda kelsa, bu belgilar bir-birini yo`qotgandan so`ng F(x) ga o`zgarmas S soni qo`shiladi.
df(x)dx=F(x)+C
Isboti: dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx=F(x)+C.
3-Xossa. O`zgarmas sonni integral ishorasi tashqarisiga chiqarib yozish mumkin:
kf(x)dx=kf(x)dx.
Isboti: dkf(x)dx=kf(x)dx d(kf(x)dx=kf(x)dx)=kf(x)dx
4-Xossa. Algebrik yig`indining (ayirmaning) integrali qo`shiluvchilar (ayriluvchilar) integrallari-ning algebrik yig`indisiga (ayirmasiga) teng.
[f(x) + g(x)]dx=f(x)dx + g(x)dx
Isboti: d[f(x)+g(x)]dx=d{f(x)dx + g(x)dx}=
df(x)dxdg(x)dx=f(x)dxg(x)dx


3. Integrallash jadvali.

1 . dx=x+C 2.


1. O`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli.
Faraz qilaylik, bizga I=f(x)dx integralni hisoblash kerak bo`lsin. Integral ostida shunday f(x) funksiyalar mavjud bo`ladiki, bu funksiyalarning integralini hisoblashlik uchun yangi o`zgaruvchi kiritishga to`g`ri keladi. Faraz qilaylik, I=f(x)dx integralda x=(t) o`zgaruvchi almashtiraylik, unda dx=′(x)dt bo`ladi. Ularni integral ostidagi ifodaga qo`ysak, f(x)dx=f[(t)]′(t)dt bo`ladi. Bu formula aniqmas integralda o`zgaruvchi almashtirish formulasi deyiladi.
Misol. ni hisoblang.

5-3x=z

x= dx=
Misol. ni hisoblang. Buni hisoblash uchun biz o`zgaruvchi almashtirish usulidan foydalanamiz.
x+1=z³ desak, x=z³-1, dx=3z²dz

Faraz qilaylik, funksiyaning aniqmas integrali

(1)
berilgan bo`lib, uni hisoblash talab etilsin. Ko`pincha o`zgaruvchi x ni ma`lum qoidaga ko`ra boshqa o`zgaruvchiga almashtirish natijasida berilgani integral sodda integralga keladi va uni hisoblash oson bo`ladi.
Aytaylik, (1) integraldagi o`zgaruvchi x yang`i o`zgaruvchi t bilan ushbu
Munosabatda bo`lib, quyidagi shartlar bajarilsin.
1. funksiya diffferentsiallanuvchi bo`lsin.
2. funksiya boshlang`ich funksiya ega bo`lsin. (2)
3. funksiya quyidagicha (3) ifodalansin. U holda ifodalansin.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib, (2) va (3) munosabatlarni e`tiborga olib topamiz.
Bundan bo`lishi kelib chiqadi.
Shu yul bilan (1) integralni hisoblash o`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli deyiladi.
Bu usulda, o`zgaruvchini juda ko`p munosabat bilan almashtirish imkoniyati bo`lgan holda ular orasida qilinayotgan integralni sodda hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olish muhimdir.
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda o`zgaruvchini almashtiramiz.:

Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Avvalo berilgan integralni quyidagicha yozib olamiz. Bu integralni o`zgaruvchi almashtirish usulida foydalanib hisoblaymiz.
Misol. integral hisoblansin. Ravshanki,
Unda
bo`lganligi sababli

bo`ladi.
Agar bo`lishini e`tiborga olsak, unda ekanini topamiz.
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Integralda o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz. unda bo`lib, undan bo`lishi kelib chiqadi.
Natijada (4) bo`lishini topamiz.