Mundarij a kirish I bob. Matematik fizika tenglamalari va ular uchun qo‘yilgan masalalarni analitik usulda yechish 1

Bitta singulyar koeffitsientga ega bo‘lgan giperbolik tipdagi differensial tenglama uchun qo‘yilgan boshlang‘ich masalani to‘rlar usulda yechish

Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida berilgan, ko‘rinishi o‘zgartirilgan Koshi masalasini qaraymiz, ya’ni

, (2.7)
tenglamani sohada
(2.8)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping.
Bu masalaning yechimini to‘rlar usuli yoki chekli ayirmalar usuli yordamida yechishni ko‘rib chiqamiz.
Izlanayotgan funksiyaning to‘rning tugunlaridagi qiymatini (bu erda qadam, ) orqali belgilaymiz [8], [9]. Har bir ichki nuqtalardagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:


(2.7) tenglamada hosilalar uchun simmetrik formulalardan foydalanib, ayirmali tenglamani topamiz:
(2.13)
bu erda .
(2.13) da belgilash kiritib, uni yozamiz:
. (2.14)
(2.14) tenglamaning bo‘lganda turg‘un ekanligi isbotlangan.
(2.14) tenglama bo‘lganda eng sodda ko‘rinishni oladi:
(2.15)
(2.15) tenglamadan ( eng kichik son) topilgan taqribiy yechimning xatoligi quyidagicha baholanadi:
, (2.16)
bu erda aniq yechim,
.
(2.14) tenglamani hosil qilish uchun yuqorida ko‘rilgan chizmadagidek tugunlar sxemasidan foydalanilganligini ko‘ramiz.
Bu sxema oshkor sxemadir, chunki (2.14) tenglama funksiyaning qatlamdagi qiymatini topishga imkon beradi, agar oldingi ikki qatlamdagi qiymatlar ma’lum bo‘lsa.
Demak, (2.7), (2.8) masalaning taqribiy echimini topish uchun echimning ikki boshlang‘ich qatlamdagi qiymatini bilish zarur. Bularni boshlang‘ich shartlardan quyidagi usuldan topish mumkin.
(2.8) boshlang‘ich shartlarda hosilani quyidagi ayirmalar nisbati bilan almashtiramiz:
.
funksiyaning qatlamdagi qiymatlarini topish uchun
(2.17)
ga ega bo‘lamiz.
Bu holda qiymatlarining xatoligini baholash quyidagicha bo‘ladi:
,
bu erda
.
Misol. Quyidagi
,
tenglamaning

shartlarni qanoatlantiruvchi echimini to‘rlar usulida toping.
Echish. Qadami h=l=0.05 bo‘lgan kvadrat to‘r olamiz. Boshlang‘ich ikki qatlamdagi funksiyaning qiymatlarini topamiz.
Buning uchun quyidagi ishlarni bajarishimiz lozim bo‘ladi. va ekanligini e’tiborga olib,
,

larni topamiz.
Yuqoridagilarga asosan quyidagilarni hosil qilamiz:
u_0,-1=u_0,1-2lF_i= (x₁+x_-1)+0.05(3x₀-1)-2*0.05*(3x₀-1)=
= (0.05+(-0.05))+0.05(3*0-1)-2*0.05*(3*0-1)=-0.05+0.1=0.05
u_1,-1=u_1,1-2lF_i= (x₂+x₀)+0.05(3x₁-1)-2*0.05*(3x₁-1)= = (0.1+0)+0.05(3*0.05-1)-2*0.05*(3*0.05-1)=
=0.05-0.05*0.85+0.1*0.85=0.0925
u_2,-1=u_2,1-2lF_i= (x₃+x₁)+0.05(3x₂-1)-2*0.05*(3x₂-1)= = (0.15+0.05)+0.05(3*0.1-1)-2*0.05*(3*0.1-1)=0.1-0.035+0.07=0.135
u_3,-1=u_3,1-2lF_i= (x₄+x₂)+0.05(3x₃-1)-2*0.05*(3x₃-1)= = (0.2+0.1)+0.05(3*0.15-1)-2*0.05*(3*0.15-1)=