Мухим ёпиқ синфлар

М1. Мухим ёпиқ синфлар.
Тўлиқ функциялар системаси. Иккитарафлама функциялар системасининг тўлиқ бўлиш шарти. Ёпиқ синфлар. Хусусий функционал ёпиқ синф. Максимал функционал ёпиқ синф.
Мантиқ алгебрасининг функциялар системаси берилган бўлсин.
1-таъриф. Агар мантиқ алгебрасининг исталган функциясини системадаги функциялар суперпозицияси орқали ифодалаш мумкин бўлса, у ҳолда Ф га тўлиқ функциялар системаси деб айтилади.
Исталган функцияни МКНШ ёки МДНШ кўринишида ифодалаш мумкинлигидан функциялар системасининг тўлиқлиги келиб чиқади. функциялар системаси ҳам тўлиқ бўлади, чунки исталган функцияни Жегалкин кўпҳади кўринишига келтириш мумкин.
Қуйидаги функциялар системасининг тўлиқлигини исботланг:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; и) ;
ж) ; з) ; е) .
Исбот. а). = , яъни дизъюнкция амалини конъюнкция ва инкор амаллари орқали ифодалаш мумкин. Демак, { , } функциялар системаси тўлиқ бўлади.
б). = = эканлиги маълум. Демак, исталган мантиқий функцияни дизъюнкция ва инкор амаллари орқали ифодаласа бўлади. Шунинг учун { } функциялар системаси тўлиқдир.
в). Ихтиёрий мантиқ алгебрасининг функциясини ягона Жегалкин кўпҳади кўринишига келтириш мумкинлигидан { } функциялар системасининг тўлиқлиги келиб чиқади.
г) ва д). Мантиқ алгебрасидаги исталган функцияни ва Шеффер функциялари орқали ифодалаш мумкин. Ҳақиқатан ҳам,

ва
,
асосий мантиқий амалларни Шеффер функцияси орқали ифодалаш мумкин. Демак, { } ва { } функциялар системаси тўлиқ бўлади.
и). бўлганлиги учун бўлади. { } тўлиқ система эканлиги в) пунктида исбот қилинган эди, демак, { } cистема тўлиқдир.
Худди шундай бошқа функциялар системасининг тўлиқлигини исбот қилиш мумкин.