Мухим ёпиқ синфлар

1-теорема. Агар функциялар системаси тўлиқ бўлса, у ҳолда унга иккитарафлама бўлган функциялар системаси ҳам тўлиқ бўлади.
Исбот. системанинг тўлиқлигини исботлаш учун исталган функцияни системасидаги функциялар суперпозицияси орқали ифодалаш мумкинлигини кўрсатишимиз керак. Бунинг учун аввал функцияни cистемасидаги функциялар орқали ифодалаймиз ( система тўлиқ бўлганлиги учун бу процедурани бажариш мумкин). Кейин иккитарафлама қонунга асосан иккитарафлама функциялар суперпозицияси орқали функцияни ҳосил қиламиз.
Мисол. Қуйидаги функциялар системасининг тўлиқ эмаслигини исботлайлик:
а) , ; б) ; в) ;
г) ; д) .
а). га тенг. Демак, { } системасидаги функциялар бир аргументли функциялар бўлади. Бизга маълумки, бир аргументли функцияларнинг суперпозицияси натижасида ҳосил қилинган функция яна бир аргументли функция бўлади. Натижада, бу системадаги функциялар орқали кўп аргументли функцияларни ифодалаб бўлмайди. Шунинг учун { } тўлиқ система эмас.
б). { } системасидаги функцияларнинг иккаласи ҳам монотондир. Монотон функцияларнинг суперпозицияси орқали ҳосил қилинган функция яна монотон бўлишини исбот қилган эдик. Демак, бу иккала функциянинг суперпозицияси орқали монотон бўлмаган функцияларни ифодалаш мумкин эмас ва натижада, { } система тўлиқмас система бўлади.
в). { } cистемасидаги функциялар чизиқли функциялардир. Шунинг учун бу функциялар орқали чизиқлимас функцияларни ифодалаб бўлмайди. Демак, { } функциялар системаси тўлиқ эмас.
г). { } системасидаги функциялар ўз-ўзига иккитарафлама функциялардир. Бу функцияларнинг суперпозициясидан ҳосил қилинган ҳар қандай функция ҳам ўз-ўзига иккитарафлама функция бўлади.
Демак, { } функциялар системаси тўлиқ эмас.
д). { } системадаги функцияларнинг ҳаммаси монотон функциялар бўлади. Монотон эмас функциялар бу системадаги функциялар орқали ифодаланмайди. Демак, { } система тўлиқ эмас.
Шундай қилиб, юқорида келтирилган масала ечимининг анализидан қуйидаги хулоса келиб чиқади.
Берилган функциялар системасининг тўлиқ эмаслигини исботлаш учун системадаги функцияларнинг шундай умумий хусусиятини топиш керакки, бу хусусият функциялар суперпозицияси натижасида сақлансин.
Ҳақиқатан ҳам, у вақтда бундай хусусиятга эга бўлмаган функцияни системадаги функциялар суперпозицияси орқали ҳосил қилиб бўлмайди.
Функцияларнинг бу маълум хусусиятларини текшириш учун одатда функционал ёпиқ синфлар тушунчасидан фойдаланадилар.