Mudarija kirish

Xususiy hol. Xususan, ushbu
x(t)  ax(t)1  x(t) / m  bx(t) y(t),
y(t)  cy(t)  dx(t   ) y(t   ) (2)
kechikkan argumentli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan modelning yechimini quyidagi bosh- lang‘ich shartlarda toping: x(0)=80; y(0)=30, bunda parametrlarni a=0.25; b=-0.01; c=-1.0; d=0.01; m=200 deb oling.
Masalani MATLAB dasturida sonli yechish. MATLAB dasturning prosedularidan biri dde23 ushbu masalani sonli yechish imkonini beradi [1-3]. Bu proseduraning parametrlaridan biri isemty(z)=true (1) sistemani, aksinchasi esa (2) sistemani yechish imkonini beradi. Har ikkala masalaning x(t) va y(x) yechim funksiyalari grafiklari 1- va 2-rasmlarda tasvirlangan (bunda kechikkan argumentli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun τ = 1 deb olindi).
Oddiy differensial tenglamalar sistemasining fazoviy portreti sistemaning limitik sikliga mos keluvchi yopiq egri chiziqni, kechikkan argumentli differensial tenglamalar sistemasiniki esa bu yechim xarakterining keskin o‘zgarishiga olib keladi (3-rasm).

1-rasm. Kechikkan argumentli differensial tenglamalar sistemasi (2) uchun x(t) va y(x) yechim funksiyalari grafiklari.
2-rasm. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi (1) uchun x(t) va y(x) yechim funksiyalari grafiklari.
3-rasm. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi (1) ning (uzluksiz chiziq) va kechikkan argumentli differen- sial tenglamalar sistemasi (2) ning (strixli chiziq) fazoviy portreti.
Bu hisoblashlarda τ parametrni har xil qilib olish (hatto juda kichik kechikuvchi argumentlarda ham) yakuniy natija xarakterining o‘zgarishiga deyarli ta’sir qilmaydi. «O’lja»ning ko‘payishi tezligini xarakterlovchi paramer 1-x(t)/m ni (2) sistemada hisobga olmaslik τ parametrning har xil qiymatlarida orbitaning o‘zgarishiga olib keladi, (2) sistema uchun τ =0 da 4-rasmdagi natijaga kelamiz.
4-rasm. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi ((2) da τ =0) uchun x(t) va y(x) yechim funksiyalari grafiklari.
Shunday qilib, ko‘payishi o‘zaro ta’sir ostida bo‘lgan ikki biologik «yirtqich – o‘lja» turning dinamik ko‘payishi haqidagi masalani ularning oziq-ovqat manbalari cheklangan va o‘ljaning nochiziqli ko‘payuvchi tur zichligi kam bo‘lgan ichki kurashi sharoitida yechildi. Usbu ishda keltirilgan algoritm, hisob dasturi va olingan natijalardan shu kabi turdosh (masalan, Bazikin modeli, Xolling-Tenner modeli va boshqa modellar asosida chiqarilgan) masalalarni yechishda samarali foydalanish mumkin.
Differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechish uchun mo`ljallangan boshqa funksiyalarga ham shu tarzda murojaat qilish mumkin. Differensial tenglamalarni yechishda qo`llaniladigan MATLAB funksiyalarini izchil o`rganish uchun paketning ma’lumotlar tizimiga [4] murojaat qilish zarur.


Xulosa
Differensial tenglamalarning yechimlari aniq (analitik) va taqribiy (sonli) bo`lishi mumkin. Ba’zi differensial tenglamalarni aniq yechish mumkin bo`lsa, amaliyotda shunday tenglamalar, ayniqsa, ularning shunday sistemalari mavjudki, ularning aniq yechimlarini topib bo`lmaydi. Hattoki, analitik yechimga ega bo`lgan tenglamalar uchun ham ba`zi hollarda oldindan berilgan qiymatlardagi sonli yechimlarni topishga to`g`ri keladi. Shuning uchun ham oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari rivoj topdi.
Ushbu kurs ishida hisoblash matematikasining amaliyotda ko`p uchraydigan va kompyuterda hisoblashlari zaruriyati yuqori bo`lgan masalalarni MatLab matematik paketida yechish uslubiyotini tadqiq qilish maqsad qilib qo`yilgan edi. Boshqa matematik paketlarning ichida aynan MatLab paketining tanlab olinishi, unda dasturlash imkoniyatining mavjudligi va hisoblash jarayonini to`liq kuzatish va boshqarish mumkinligidadir.
MatLab (Matrix Laboratory) tizimi Amerikaning MathWorks firmasi mahsuloti bo’lib, bu tizim katta imkoniyatlarga ega bo’lgan dasturiy mahsulotdir . Uning birinchi versiyasi 1970 yilda foydalanuvchilarga havola etilgan. U ilmiy va muhandislik masalalarini yechuvchi ko’plab maxsus dasturlardan tashkil topgan. Uning asosiy elementi - bu MatLab sistemasining yadrosi. Bunga qo’shimcha tarzda unda 60 ga yaqin buyruqlar kompleksi ("Toolboxes") biriktirilgan. U Curve Fitting Toolbox, Optimization Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Statistics Toolbox, Symbolic Math Toolbox va boshqa amaliy dasturlar paketlaridir.
MatLab tizimining boshqa kompyuter algebrasi tizimlariga nisbatan yana bir muhim tomoni shundaki, unda dasturlash imkoniyatining mavjudligi va hisoblash jarayonini boshqarish hamda kuzatish mumkinligidadir. Ushbu kurs ishida “MatLab dasturida xususiy hosilalali differensial tenglamalarni yechish” mavzusiga bag`ishlangan bo`lib, bunda differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar berilgan, xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni yechish usullari keltirilgan. Shuningdek, differensial tenglamalarni yechish bo`yicha MatLab dasturining funksiyalari tadqiq qilingan, hamda MatLab dasturida xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish misollar orqali batafsil yoritilgan.