Mudarija kirish

1-misol. Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob formulalarini yozing:
y₁(x)=y₁²(x)+y₂²(x),
y₂(x)=y₁(x)y₂(x),0 x1,
y₁(0)=y₂(0)= 1.
Yechish.Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:
y_1,0=y_2,0=1.
y_1,i+1=y_1,i+h((y_1,i)²+(y_2,i)²),i=0,1,…,N- 1 (1)
y_2,i+1=y_2,i+h(y_1,iy_2,i) ,i= 0,1,…,N–1 . (2)
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x_i tugundagi y_1,I va y_2,itoʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (1) va (2) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i+1 –tugundagi y_1,i+1 va y_2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:
Y(_1,0)=y(_2,0)=1.
y_1,i=y_1,i-1+h((y_1,i)²+(y_2,i)²), i=1,2,…,N, (3)
y_2,i=y_2,i-1+h(y_1,iy_2,i), i =1, 2,…,N. (4)
Bu hisob bo’yicha ham bajariladigan hisoblashlarda bo’yicha sikl bajariladi: x_i-1 tugundagi y_1,i-1 va y_2,i-1 toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (3) va (4) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i tugundagi y_1,I va y_2,I toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.
_1-misol.Ushbu y^2yx²1_{, y(0)=1}
Koshi masalasining[0;1] kesmadag isonli yechimini Eyler usuli bilan toping.
Yechish. Bunda n = 10 deb olamiz, u holda h =(1-0)/10 = 0,1. Berilgan differensial tenglamani kanonik koʻrinishda yozib olamiz:
y^f(x,y) 12y-x²
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda i boʻyicha sikl bajariladi: x_i tugundagi y_1,I va y_2,I toʻr yechimlar topilgandan keyin i ning qiymatida (1) va (2) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i+1 tugundagi y_1,i+1 va y_2,i+1 toʻr yechimlar topiladi.
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:
Y(_1,0)=y(_2,0)=1.
y_1,i=y_1,i-1+h((y_1,i)²+(y_2,i)²), i=1,2,…,N,
y_2,i=y_2,i-1+h(y_1,iy_2,i), i =1, 2,…,N.
Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda I boʻyicha sikl bajariladi: x_i-1 tugundagi y_1,i-1 va y_2,i-1 toʻr yechimlar topilgandan keyin I ning qiymatida (3) va (4) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi x_i tugundagi y_1,I va y_2,I toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar Tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.
Boshlangʻich nuqta: x₀=0, y₀=1. Dastlabki x₁ nuqta uchun hisoblashlar:

x₁=x₀+h=0+0,1=0,1
Keyingi x₂ nuqta uchun hisoblashlar
y₂ y₁hf(x₁;y₁)1,30,1f(0,1;1,3)1,30,1(12,60,01)
1,30,13,591,659
x₂x₁h0,10,10,2
Yana qolgan sakkizta nuqta uchun xuddi shunday hisoblashlarni bajarishimiz mumkin, chunki, n=10 deb tanlab olingan.
2-misol.Yuqoridagi keltirilgan Koshi masalasini 4-tartibli Runge-Kutta usuli bilan yechish.
Yechish.Koshi masalasi
y'-2y+ x²=1, x[0;1],y(0)=1.
Faraz qilaylik, n = 10 ,h = (1 - 0)/10 = 0,1. Boshlangʻich nuqta x₀=0, y₀=1.
Dastlab C₀,C₁,C₂, C₃larning qiymatlarini hisoblab olamiz:

=1+2*1-03
c₁=f(x₀+ ;y₀+h* )=f(0,05;1,15)  1 2 1,15 0,05²  3,2975
c₂=f(x0+ ;y₀+h* ) f(0,05;1,164875) 1 2 1,164875 0,05²  3,32725

c₃=f(x₀+h;y₀+h*K₂) f(0,1; 1,332725) 1 2 1,332725 0,1²  3,65545
ODTni 1-tartibli Eyler usuli bilan yechish algoritmi.
II bob. Matlab dasturida differensial tenglamalarni yechish.
II.1.Differensial tenglamalarni yechish bo`yicha MatLab dasturining funksiyalari.

pi - pi soni; Inf – cheksizlik; -Inf – minus cheksizlik; NaN(Not a Number) - Son emas.

Matlabda abs, sqrt, exp, sinkabi ko‘plab elementar funksiyalar mavjud. Bundan tashqari Matlabda Gamma, Besselya kabi murakkab funksiyalar ham mavjud. Bu funksiyalarning ko‘pchiligi kompleks argumentga ega. Bunday murakkab funksiyalar ro‘yhatini ko‘rish uchun quyidagini kiriting:
help specfun help elmat:
Quyida o‘zgarmaslarning qiymatlari keltirilgan:
Asosiy funksiyalar

Funksiyalar	Funksiyaning sintaksisi
format short	Sonlar ketma-ketligini qisqartirilgan formatda formallashtiradi
format rat	Sonlar ketma-ketligining yaqinlashuvchi qiymati
format long	Sonlar ketma-ketligining barchasini oladi
sqrt(x)	Ildizdan chiqrish
pow2(x)	2 ni x darjaga ko‘taradi
pi	Pi ning qiymatini beradi
fix(x)	Kasr qismini oladi
primes(x)	x gacha bo‘lgan sonlar qatorini chiqaradi
rat(x)	x ni kasr ko‘rinishda chiqaradi
factorial(x)	x faktorialni hisoblaydi
abs(x)	Modulga olish
inf	Cheksizlik
NaN	aniqmaslik 0/0 yoki ∞/∞

Differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechish uchun MATLAB paketida quyidagi funksiyalar tashkil qilingan:

ode 45( f , interval, X0, options),
ode 23( f , interval, X0, options),
ode113( f , interval, X0, options),
ode15s( f , interval, X0, options),
ode 23s( f , interval, X0, options),
ode 23t( f , interval, X0, options),
ode 23tb( f , interval, X0, options).
Bu funksiyalarning kirish parametrlari:
√ f - vektor funksiya bo`lib, x= f (x, t) tenglamani hisoblash uchun qo`llanilgan;
√ - boshlang’ich shart vektori;
√ interval- ikkita sondan iborat massiv bo`lib, differensial tenglama yoki sistemaning integrallash intervalini aniqlaydi;
√ options- differensial tenglama yoki ularning sistemalarini yechishning borishini boshqarish parametri. Barcha funksiyalar quyidagi natijalar chiqaradi:
√ T massiv – yechim izlanayotgan to`rning koordinatalari.
√ X matritsa – i – ustuni yechim vektorining Ti bo`lakdagi qiymati.
Ode 45 funksiyada to`rtinchi-beshinchi tartibli Runge-Kutta usuli, ode 23 da ikkinchi – uchinchi tartibli Runge-Kutta usuli, ode 113 funksiyasida esa Adams usuli kiritilgan, ode23 ushbu masalani sonli yechish imkonini beradi .
Qattiq sistemalarni yechishga mo`ljallangan funsiyalar ode 15s , ya’ni bu funksiyada Gir usuli kiritilgan. Rozenbrok usuli ode 23s funksiyasida, qattiq sistemaning yanada yuqori aniqlikdagi yechimini olish uchun ode 15s funksiyasini qo`llash mumkin.