Muavr-Laplasning lokal va intеgral tеorеmalari. Reja

134-misol. Telefon stansiyasi 400 abonentga xizmat ko‘rsatadi. Agar har bir abonent uchun uning bir soat ichida stansiyaga qo‘ng‘iroq qilish ehtimoli 0,01 ga teng bo‘lsa, quyidagi hodisalarning ehtimolini toping:
a) bir soat davomida 5 abonеnt stansiyaga qo‘ng‘iroq qiladi;
b) bir soat davomida 4 tadan ko‘p bo‘lmagan abonеnt qo‘ng‘iroq qiladi;
c) bir soat davomida kamida 3 abonеnt stansiyaga qo‘ng‘iroq qiladi.
Yechish: p=0,01 juda kichik, n= 400 esa katta bo‘lgani uchun da Puassonning taqribiy formulasidan foydalanamiz:

a)

c) P₄₀₀

Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har birida biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa, da

munosabat va larda ( ) nisabatan tekis bajariladi.
Bu yerda
, , .
Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan va lar chekli bo`lganda

bu yerda
, .
Quyidagi ayirmani qaraymiz:

Bunga asosan

va da
(15)
Endi ni baholaymiz.
.
Bunda
da (16)
ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega bo`lamiz.
Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar yechishda

funksiyaning qiymatini hisoblashga to`g`ri keladi.
funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan.
Jadvalda funksiyaning nol va musbat larga mos qiymatlari keltirilgan.
da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan bo`lgan holda ham foydalanish mumkin.
Jadvalda ning kesmadagi qiymatlari berilgan, agar bo`lsa, u holda deb olinadi.
funksiya orqali ni quyidagicha ifodalash mumkin:

Endi quyidagi masalani yechamiz:
Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning yaroqsiz bo`lish ehtimoli . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping.
; ; ; ; ;
; ; ; ; .
funksiya jadvalidan ;
.
Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha shartlar bajarilgan bo`lsin. Biz nisbiy chastotaning o`zgarmas ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo`yicha oldindan berilgan sondan katta bo`lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya`ni tengsizlikni bajarilish baholaymiz.

Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan

Shunday qilib
(17)
(17) ning ikkala tomonidan da limitga o`tsak,
.
.
Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki Bernulli teoremasi deyiladi.
Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo`lsin. Tangani 100 marta tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi ning ehtimoldan absolyut qiymat bo`yicha farqi dan oshmaslik ehtimolini baholang.
Yechish. Masala shartiga ko`ra , , , .
(17) formulaga asosan
,
chunki .