Muavr-laplas teoremasi va uning aniq varianti

Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har birida biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa, da

munosabat va larda ( ) nisabatan tekis bajariladi.

Bu yerda

, , .

Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan va lar chekli bo`lganda

bu yerda

, .

Quyidagi ayirmani qaraymiz:

Bunga asosan

va da

(15)

Endi ni baholaymiz.

.

Bunda

da (16)

ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega bo`lamiz.

Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar yechishda

funksiyaning qiymatini hisoblashga to`g`ri keladi.

funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan.

Jadvalda funksiyaning nol va musbat larga mos qiymatlari keltirilgan.

da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan bo`lgan holda ham foydalanish mumkin.

Jadvalda ning kesmadagi qiymatlari berilgan, agar bo`lsa, u holda deb olinadi.

funksiya orqali ni quyidagicha ifodalash mumkin:

Endi quyidagi masalani yechamiz:

Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning yaroqsiz bo`lish ehtimoli . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping.

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

funksiya jadvalidan ;

.

Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha shartlar bajarilgan bo`lsin. Biz nisbiy chastotaning o`zgarmas ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo`yicha oldindan berilgan sondan katta bo`lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya`ni tengsizlikni bajarilish baholaymiz.

Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan

Shunday qilib

(17)

(17) ning ikkala tomonidan da limitga o`tsak,

.

.

Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki Bernulli teoremasi deyiladi.

Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo`lsin. Tangani 100 marta tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi ning ehtimoldan absolyut qiymat bo`yicha farqi dan oshmaslik ehtimolini baholang.

Yechish. Masala shartiga ko`ra , , , .

(17) formulaga asosan

,

chunki .