Муаммо ва ечимлар республика илмий-амалий конференция материаллари инновационные подходы в повышении

(F(x)+C)’=F’(x)=f(x). 
Geometrik nuqtai nazardan bu teorema f(x) funksiyaning aniqmas integrali y=F(x)+C bir 
parametrli (1­rasm) egri chiziqlar oilasini ifodalaydi (C-parametr). Bu egri chiziqlar oilasi quyidagi 
xossaga ega: egri chiziqlarga abssissasi x=x
0
bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmalar bir­biriga 
parallel bo‘ladi. 
Umumta’lim maktablarning yuqori sinflarida, litsey va kollejlarning 3­kursida, universitet va 
pedagogika institutlarining tegishli yо‘nalishlarida matematik analiz fani doirasida “Aniqmas 
integralni hisoblash usullari” mavzusi о‘rganiladi. О‘quvchi va talabalarda aniqmas integralni, 
boshlang‘ich funksiyani topish xosilani hisoblash amaliga teskari amal sifatida bayon etiladi. Bunda 
о‘quvchi yoki talaba integral ostidagi fuksiya sodda bо‘lgan hollarda xosila jadvalidan foydalangan 
holda integralni hisoblaydi. Ammao integral ostidagi funksiya murakkab bо‘lgan hollarda 
itegrallash jarayoni murakkablashadi. Ana shunday holatda о‘quvchi va talabaga integral ostidagi 
funksiya qaysi sinfga tegishli va shu sinfga tegishli ekanliligini aniqlash va integrallashda qanday 
usullardan foydalanishni bilishi о‘ta muhimdir.
Ma’lumki, yuqorida aytigan mavzu puxta о‘rshanilganda aniq integralni hisoblash jarayonlari 
ancha soddalashib, о‘quvchi va talaba ongiga singadi. Aniqmas integralni hisoblashda klassik 
metodlardan tashqari sо‘nggi yillarda pedagogikaga kirib kelgan klaster usulidan foydalanish, 
masalaning tizimli va samarali yechimiga olib kelishi nazariya va amaliyotda kuzatildi. Shunga 
kо‘ra klaster metodini aniqmas integralni hisoblash usullari misolida kо‘rib chiqamiz. 

---

Ўқитувчининг касбий компетентлилигини оширишда инновацион ёндашувлар: муаммо ва ечимлар 
11 
O‘zgaruvchini almashtirish usuli. Integralda o‘zgaruvchini almashtirish usulining mohiyati 
shundan iboratki, unda integrallash o‘zgaruvchisi x ni biror x=

(t) formula yordamida t 
o‘zgaruvchi bilan almashtiriladi. Endi
x=

 (t), dx=

’(t)dt  
ifodalarni f(x)dx ga qo‘yamiz: 
f(x)dx= f(

(t))

’(t)dt (1) 
Agar f(

(t))

’(t) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri F(t) bo‘lsa, 
f(x)dx= f(

(t))

’(t)dt=F(t)+C=F(

-1
(x))+C 
kelib chiqadi. (1) formula aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deb 
ataladi. 
O‘zgaruvchini almashtirish usulidan foydalanib aniqmas integralni hisoblashda almashtirishni 
qulay tanlab olish muhim hisoblanadi. Ixtiyoriy integralni hisoblashda o‘zgaruvchini 
almashtirishning umumiy qoidasi yo‘q. Bunday qoidalarni ba’zi funksiyalar (trigonometrik, 
irratsional va boshq.) sinflari uchun keltirish mumkin. Bunda, klaster metodidan foydalanish 
maqsadga muvofiqdir. 
Bo‘laklab integrallash usuli 
Bu usul ikki funksiya ko‘paytmasining differensiali formulasidan kelib chiqadi. Ma’lumki, 
agar u(x) va v(x) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, u holda d(uv)=udv+vdu yoki
udv=d(uv)-vdu bo‘ladi. Bu tenglikni ikkala tomonini integrallasak,
 

udv= 

d(uv)- 

vdu, yoki
 

udv=uv - 

vdu
formula hosil bo‘ladi. Bu formula bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi.
1­misol. 

xcosxdx ni hisoblang. 

---

Ўқитувчининг касбий компетентлилигини оширишда инновацион ёндашувлар: муаммо ва ечимлар 
12