Моя профессиональная карьера

432

3. 
   Если в уравнение входит радикал вида у/х² - a² необходимо сделать
   

a
замену х = .
sin t
1 -пример. Решите уравнение у/х² +1 - х = —, ⁵ (1)
2V х² +1
Решение. (1) Область определения уравнения вся числовая прямая.
сделав преобразование вида х = tgt (здесь -\<t<^) (1) приведём
уравнение к виду
t
¹ - tgt = —cost (2)


cos t 2
Так как cos t ф 0 , учитывая это уравнение приведём к виду

2. 
   - sin t = 5(1 - sin²1) (3)
   

Равносильному уравнению (2).
решаем уравнение (3) и находим
3
sin t = 1 va sin t = - — (4)
Из этих решений область определения - ~ < t < ^ удовлетворяет только
. Г 3^Л
корень t = arcsm


V 5 у


( 3^ sin
Откуда находим х = tg arcsm I — I = —
cos


^ • Г 33
arcsm I - — ^{1 3}


5 _ ³


V


arcsm I - —


I¹ 25


Ответ: - -.
4
2-пример. Решите уравнение х + , ^х =³⁵ (5)
у/х² - 1 ¹²
Решение. Область определения уравнения (5) |х| > 1 То есть ни одно отрицательное число не может быть корнем уравнения (5).


433




Следовательно, все решения уравнения (5) лежат в области 1 < x <+ю.
1 Т
Сделав замену x = (здесь 0 < t <—) запишем уравнение (5) в следующем виде
sin t 2
1 1 35 ...
+ 7 = 7^ ⁽⁶⁾


sin t cos t 12
Данное уравнение равносильно следующему уравнениюотносительно
переменной t:
12(sin t + cos t) = 35sin t cos t (7)
24(sin t + cos t) = 35[(sin t + cos t)² -1] (8)
После замены уравнение (sin t + cos t) = z
приходит к виду 35z² - 24z - 35 = 0 (9)
уравнение (9) имеет два корня.
5 7
z = и z, = —
¹ 7 ² 5
Следовательно уравнение (6) равносильно системе уравнений.
5 . 7
cos t + sin t = — va cos t + sin t = — .
7 5
Первое уравнение системы не имеет решений в интервале 0 < t <^Т
Заменим во втором уравнении y = sin t тогда получим уравнение
^y W^{1 - y 2} =■


5
Уравнение (10) имеет два корня

2. 
   4
   

^y1 = - ^{va y}2 = ^
_Т
Поэтому уравнение (5) в интервале 0 < t <— имеет два корня
.3 .4
t = arc sin — va U = arc sin — .
¹ 5 ² 5
Значит уравнение (5) имеет два решения


x₁ = — va x₂ = —

1. 
   3 ² 4
   

434


5


5




Этот метод можно использовать в математических кружках, во внеклассных факультативных занятиях. Обучение учащихся старших классов этому методу поможет им развить интерес к предмету. Кроме того, иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие.
Список литературы:

1. 
   Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень: 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов. - М.: Просв., 2013. - 464 c.
   
2. 
   Бачурин, В.А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа / В.А. Бачурин. - М.: Физматлит, 2005. - 712 c.
   
3. 
   Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа: задачи и решения. / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер. - М.: Высшая школа, 2004. - 296 c.
   

435

ФИО автора: Османова Ирина Леонидовна учитель математики средней общеобразовательной школы №20 города Коканда

Название публикации: «МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАБОТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА В ШКОЛЕ»
Аннотация
В статье показана роль математических кружков в развитии маематических способностей учащихся, как основного вида внеклассной работы по математике. Кружки способствуют формированию у учащихся интереса к предмету, повышению их математического мышления, квалификации, качества математической подготовки. Показано решение некоторых нестандартных уравнения методом сравнения областей значений.
Ключевые слова: математический кружок, развитие математических способностей учащихся, внеклассная работа по математике, формирование интереса к предмету, математическоео мышления, квалификации, качества математической подготовки.
Компоненты деятельности учителя математики в учебном процессе с позиций профессиональной педагогической деятельности можно также разделить на традиционные (познавательный, информационный, организационный, конструктивный (планирование), коммуникативный) и инновационные (проектировочный, исследовательский, интеллектуальный, диагностический, корректирующий, прогностический, креативный, аксиологический, рефлексивный), а с позиций специфической деятельности учителя по обучению математике их можно разделить на психолого­дидактические и методико-математические. Одной из основных видов деятельности учителя математики в школе является развитие математических способностей учащихся, организация внеклассной деятельности, работа по деятельности математического кружка.
Математические кружки - основной вид внеклассной работы по математике. Кружки способствуют формированию у учащихся интереса к предмету, повышению их математического мышления , квалификации , качества математической подготовки. Ниже мы научимся решать некоторые нестандартные уравнения методом сравнения областей значений. Это еще больше расширяет кругозор учащихся. Обеспечение дидактического материала одна из главных проблем кружков. Предлагаем рассмотреть уравнения повышенной трудности, которые можно включить в дидактический материал.
Пример 1. Решить уравнение.
cos² (x sin x)= 1 + log₅² Vx² + x +1


436




Решение: Можно заметить, что функции в правой и левой частях уравнения в
cos² (х sin х)< 1


соответствии с областью значений


(х sin х)
22


1 + log/ л/х² + х +1 > 1


cos² (х sin х) = 1


[log/ л/х² + х + 1 = 0 Получим ^ х = 0 .
Ответ: х = 0
Пример 2. Решить уравнение.


х ■


-1 + |х - 3| = 2 -


х-


п


-2 Л


Решение:


V
|х — 1 + |х — 3 > 2 |х — 1 + |х — 3 = 2 |х — 1 + |х — 3 = 2


2 -


п


2 V


х-


< 2


2-


п


2 V


х-


4


=2


п


2 V


х-


4


= 0


п
4


Решая последнюю систему получим х =


п


4


Ответ: х =


п

3. 
   пример. Решите уравнение sin (х³ + 2х² +1)=х² + 2х + 3
   

Решение согласно области определени и значения данных в уравнении функций
можно записать:
J(sin (х³ + 2х² + 1))< 1 Jsin (х³ + 2х² + 1)< 1 Jsin (х³ + 2х² + 1)_mjx = 1
|х² + 2х +1 + 2 > 2 |(х +1)² + 2 > 2 {((х + 1)² + 2^_п = 2
Последняя система не имеет действительного решения.
Ответ: 0.

3. 
   пример. Решите уравнение .
   

1


-—8 + ' 2
sm х cos 2х


И


8 2 sin х + cos


2 х )= 4


= 4 cos


п


— х


Решение: Для любых положительных и отрицательных чисел а и b справедливо


неравенство


О 1


— + — I • (а + b) > 4
a b


Значит, решив систему найдём корни уравнения


Г 1


■ + ■


• 8 2
V sin х cos


Hi
:² 2х) ^v


sin⁸ х + cos²


2 х )> 4


4cos


п


Г 1


+


82
_V sin х cos


I •(si
² 2х )


sin ⁸ х + cos²


2х)= 4


cos


— - х² = 1 4


п


п


^ х=—,х= —
¹ 2 ² 2
z'-\ п п
Ответ: х =~ , х = — ¹ 2 ² 2