Moluch 114 c indd

Лемма 1. Для числового образа матрицы M имеет место равенство:
^{W (M )  }_^min ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃ ^{, max} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃ ^_{ ,} где ₁ , ₂ , ₃ собственные числа матрицы M .
Доказательство. Пусть ₁ , ₂ , ₃ — собственные числа матрицы M . Обозначим через X собственный вектор,
^{соответствующий собственному числу min} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃  ^{матрицы M , а через Y собственный вектор, соответствующий собственному числу max} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃  ^{матрицы M . Тогда имеет место соотношение:
(MX , X )  min} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃  ^{, x  1 ;}
^{MY ,Y}  ^{ max} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃ ^{, y  1.}

Очевидно, что квадратичная форма (Mz, z)
в единичной сфере
z  1
достигает своего минимума при z  X

^{и достигает своего максимума при z  Y . Таким образом, W (M )  }_^min ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃ ^{, max} ^₁ ^{, }₂ ^{, }₃ ^_ ^.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если a₁₂  a₁₃  a₂₃  0 , то имеет место равенство:
^{W (M )  }_^min ^{a11, a22 , a33} ^{, max} ^{a11, a22 , a33}^_ ^.
Доказательство. Допустим a₁₂  a₁₃  a₂₃  0 , тогда:

^{ a}11
^{0 0} 

M : ^ 0
^a22
0 ^ .

 
 ^{0 0 a33} 
Собственные числа матрицы M являются нулями характеристического уравнения:
^{a11  } ^{a22  } ^{a33  }  ^{ 0 .}
Отсюда следует, что для собственных чисел матрицы M верно ₁  a₁₁ , ₂  a₂₂ , ₃  a₃₃ . В силу леммы 1 имеем:
^{W (M )  }_^min ^{a11, a22 , a33} ^{, max} ^{a11, a22 , a33}^_ ^.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если a₁₂  a₁₃  0 , то имеет место равенство:
^{a  a } ^{a  a} 2 ^{ 4 a} 2

^{W (M )  [min} ^{a
, } ^{, max} ^{a
, } ^]
где  
22 33 22 33
23 _.

11 
11  _,  ₂

Доказательство. Пусть a₁₂  a₁₃  0 . Тогда M записывается как:

.a
^{ a}11
^{0 0} 

M : ^ 0
^a22 23 ^

 

 ^{0 a23
a}33 ^

Характеристическое уравнение матрицы M имеет следующий вид:

11 22 33

23

11
^{a  } ^{a
 } ^{a
 }  ^{ a}
2 ^{a
 }  ^{ 0.}
(1)

Известно, что нули характеристического уравнения матрицы M являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения:

Литература:

1. 
   Hausdorff, F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
   
2. 
   Heydari, M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
   
3. 
   Langer, H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numer- ical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.
   

Об исследовании одного интегрального уравнения Вольтерра второго рода при заданных условиях

Есбаев Адилет Ныгметович, магистр
Назарбаев Интеллектуальная школа физико-математического направления г. Астана (Казахстан)
Есенбаева Гульсима Ахмадиевна, кандидат физико-математических наук, доцент; Смаилова Акнур Айдаровна, магистрант;
Турсынгалиев Нурсултан Канатович, магистрант
Карагандинский государственный университет имени академика Е. А. Букетова (Казахстан)
В статье рассмотрено интегральное уравнение Вольтерра второго рода с заданным ядром. Такого рода интегральные уравнения возникают при решении некоторых граничных задач для существенно-нагру- женных дифференциальных параболических уравнений в неограниченной области.
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.

П
ри отыскании решений некоторых граничных задач для существенно-нагруженного дифференциального пара- болического уравнения естественным образом возникает необходимость исследования интегральных уравнений
Вольтерра второго рода следующего вида [1]
t

(t)    _
0
K (t, )  ( )  d  F (t) , (1)

где  С — числовой параметр уравнения, F (t ) — известная функция, определенная на промежутке (0, ) , ядро
K (t, ) интегрального уравнения (1) имеет вид

K (t, ) 
,
x  x (t )
x^{ }
x^{2 }

Q(x, t   )  _{2(t   )}  exp _  _{4(t   )}  P(x, t   ) , (2)

2




 ^  
P(x, t   )  _ ^1 exp^  ^{ }  I ^{   x }  d , (3)
₀  4(t   )  2(t   )

причем
I_ (x)
— модифицированная функция Бесселя,  — числовой параметр, 0    1 ,
z  z(t) C(0, ) —

заданная, принимающая положительные значения функция, (t) — искомая функция.

Функция
Q(x, t   )
определяет ядро интегрального уравнения (1). Вычислим функцию
Q(x, t   )
и представим

различные ее интерпретации.
Учитывая, что [2]
_{ } 2k


 1 r
^{c  1}  ^{2k    }  _ ^c _



_ x exp_ px _ I_ (cx)dx 
^{  } k !(  1) ^Г
r ^{  }
_{1 } при Re p,
Re(  )  0 ;
r  1 ,

⁰ 2^ r  p ^r
Г (  1) ^{k 0 k}
 2 p^r 

где (  1)₀  1 , (  1)_k  (  1)(  2) ... (  k ) , k  1, 2, 3,... — символ Похгаммера, из (3) получим
_x
^{2  (t   )  1}  ^{2k  2    } 

P(x, t   ) 


_{ } 2k
2^1  ¹  Г (  1)
4(t   )
 _
k 0
k !(  1)_k
Г _{
2 } 

 ^c  ^

x  ^2k 1 


_{1 } 2k

^{ 1   } 2(t   )^{ :} 2 ^ 4(t   ^{ }

 2 p^r 
4(t   ) x^{ } 1
 x  ^2k

1) (t _{k 0}
^ 2^21  Г (  ^   )^{  }
k !(  1)_k
 Г (k  1)  _{ 2}
t   ^{ }

 4 _{ }^
1 _
x2k   

2^21  Г (  1) 2^2k (  1) (t   )^{k 1
k 0} k

 _
k 0
1

k
₂2k  2 1 _{(  1)}



Г ( 


1) (t

1
_x2k  
_{  )}k   1 ^{, }
_x2k  

P(x, t   )  _
k 0
₂2k  2 1 _{(  1)}
Г ( 


1. 
   (t
   

_{  )}k   1 ^{. (4)}

k
Подставив (4) в (2), получим следующее представление функции Q(x, t   )

k 0
 ^x  <sup>2 1

</sup> x<sup>2  

1</sup>  ^x  ^2k

Q(x, t   )  _{ 2}
Г (  1)(t   )^{  exp} ^{ } 4(t   )^ ^{ }
(  1) (t   )^{k  } 2^{ .}

k
Для функции
Q(x, t   ) , можно получить другое соотношение, используя интегральное представление

модифицированной функции Бесселя [2]
   x  ^

^{ } ^{2   4(t   )
1}   ¹

   x  


P(x, t   )  _
0
^1 exp 

4(t   )^ ^
_Г  _{ } ¹ _{ Г}  ¹
d  _
1
_1 ² _
²  exp _ 
2(t   )^{  d }

1
Г ^   ^1  Г ^{ 1}  4^

_x
^ (t   )^{ }
_ ₂_
_{ 2}_

_{ 2}_ _{ 2}_
^{1   1 }  1 

_{ }1 ² _ ² d_
  exp_  _² 2x_  d . (5)

1 0
Учитывая, что [2]

 4(t   ) 

^ 1   ^  ^{2  }
_ ^{x  exp}_^{x2  2x}_^{ dx     exp}_{ } ^ ^{1 Ф}

₀ 2 2     _

при
arg   ^ , Re   0 , соотношение () преобразуем к виду
2

_{1 x} ¹
  ¹

P(x, t   )   

_1 ² _ ² 

 ¹  ¹ ^{4 (t   ) }

Г _  
_ ^ x
₂_ ^{ Г} _{ 2}_

1
x²^{2  }

 x  ^

_2(t   )  ₂ 4 (t   )  exp _{ 4(t   ) }1 Ф _{ 2 t    } d 
 ^{ }

_{1 x}  ¹
  ¹

   _2(t   ) 

_1 ² _ ² d 

 ¹  ¹ ^{4 (t   ) }

Г _  
₂_ ^{ Г} _{ 2}_
1
  ¹

 1

^ x²^{2  }

 x  ^{ }

 x  (t   )  _   (1 ² ) ²  exp_{ }  _1 Ф _{  } d_ 
_1 ^{ 4(t   )} _ ^ 2 t   ^ _{ }

_ 1 _ x^

 ^2(t    

   ^ , (6)

 ¹  ¹
4^ (t   )^{ }
) A₁ x
A₂ (x, t )_

Г _   _2  Г _{ 2}

¹   <sup>1


1</sup>   <sup>1


</sup> x²^{2  }

A₁  _
1
_1 ² _
² d , (7) A₂ (x, t   )  _
1
  _1 ² _
²  exp
^ 4(t   )^
 _1 Ф d .


Так как [2]


^a _{ } ^{p 1} _  1 

_{ }a
0
то
 x _
dx  ^1  a ^{( p 1)1}  B p,

_{ } , где a,
, Re p  0 ,

¹ _{ } 1 ¹

  ¹

 ^{1 1}

A  _1 ² _ ² d  2 (1 ² )
² d  B   , .

¹  
1 0
_ _{2 2}_

¹   <sup>1


</sup> x²^{2  }

A₂ (x, t   )  _
1
1
  _1 ² _
  ¹ 


²  exp


_x2_2
^ 4(t   )^

 _1 Ф d 


 
 _   _1 ² _
1
²  exp  erfc d 
 4(t   )

^{1   1 } x²<sup>2  1


  1 </sup> x²^{2 }  x 

 _   _1 ² _ ²  exp_{ } d  _
  _1 ² _ ²  exp_{ } Ф _{ } d .

_1  4(t   ) _1
^{ 4(t   ) } 2 t   ^

Учитывая нечетность и четность подынтегральных функций в первом и во втором интегралах последнего соотношения, получим

¹   <sup>1


</sup> x²^2
  x 

A (x, t   )  2 
  _1 ² _ ²  exp
Ф d . Так как [80]

2

a
_{ x} 1 _a2 _{ x}2 _
0

0


p 1
^ 4(t   )^

^erfc(cx)^
exp_c² x² _ ^{ erf (cx) } dx 
 
_{ 2}
t   ^

  _a  2 p 1_c
 ^{  1}
  ^{  1 3}


  1

2 2 ^

_ B _
2 , p_ ₂ F_{2 }1,
; , p 
2 2
₂ ; a c _ 

_{0 a}  2 p  2 _{ }


  ^{ } 

1 1

^  

1
 
2 ^{B } 2
, p_ ₁ F_{1  2} ; ₂
 p; a²c² _
при a,
Re p  0 ; Re   ,

k
2

где
F _a ,..., a ;b ,...b ; z_  _

a₁ _k ... _a_{p k z}



k
— обобщенная гипергеометрическая функция,


p q 1 p 1 q
k 0


^{ a} z^k
b₁  ... _b_{p k} ^{k !}


₁ ^F1 ^{a;b; z} ^ _
k 0
k
^b_k ^{k !}
— вырожденная гипергеометрическая функция,
a₀  1 , (a)_k
 a(a  1) ... (a  k 1) ,

k  1, 2, 3,... — символ Похгаммера, erfc(z)  1 Ф(z) , erf (z)  Ф(z) , то соотношение для
A₂ (x, t   ) примет вид

¹   ^1
 x²^2
  x 

A (x, t   )  2    _1 ² _ ²  exp
Ф d =

² 
0
^x  ^{3 1}
^ 4(t   )^
^ 3 3
^ 2 t   ^
x^{2 }

  _{ (t   )} B _{ 2} ,   _2 ₂ F_{2 }1, ₂ ; ₂ ,   2; _{4(t   )} . (8)
Представление (6) с учетом (7) и (8) получим в виде
^{1 x }  ^{1 1}
P(x, t   )  _{ 1  1}  _{4 (t   )}  _2(t   )  B _   ₂ , _2 
Г _   _2  Г _{ 2} ^


_ ^x  ^{3 1}
^ 3 3
x^{2  }

x  (t   ) 
 (t   ) ^{ B  2 ,   2 }2 ^F2 ^{1, 2 ; 2 ,   2; 4(t   )  }

B    
_ ¹ _ ^  ^{1 1} ^{x (t   )1}

_
 ¹  ¹ ^{  2 , 2}
₂2 1

Г _   _2  Г _{ 2} ^

 ^{3 1}
_x  2
^ 3 3
x^{2  }


^{ B } 2 ^{,  } 2^{ } 2^2 (t   )^{ 2 F2 }^1, 2 ^; 2 ^{,   2;} 4(t   )^ ^{ .}
Используя различные представления функции ядра интегрального уравнения, исследуются вопросы разрешимости интегрального уравнения (1).

Литература:

1. 
   Есбаев, А. Н., Есенбаева Г. А., Об одной граничной задаче для нагруженного дифференциального оператора те- плопроводности при неподвижной точку нагрузки //Вестник Карагандинского государственного университета. Серия Математика.— 2013.— № 2.— с. 65–69
   
2. 
   Прудников, А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Мо- сква, 2003, 664 с.