Mixaylov mezoni bо‘yicha abt ning turg‘unligini tadqiq qilish Ishdan maqsad

Mixaylov mezoni bо‘yicha ABT ning turg‘unligini tadqiq qilish

Ishdan maqsad: MATLAB dasturida Mixaylov mezoni bо‘yicha ABT ning turg‘unligini tadqiq qilish usullarini o‘rganish.

Nazariy qism

A.V. Mixaylov va X.Naykvist tomonidan berk va ochiq tizimlarning xarakteristik tenglamalari orqali turg‘unlikni aniqlashning chastotali mezonlarini ishlab chiqilgan. Chastotali mezonlar chastotali xarakteristikalarning shakliga nisbatan tizimning turg‘unligini aniqlash imkonini beradi. Bu mezonlar yordamida yuqori darajali differensial tenglamalar bilan ifodalangan tizimlarning turg‘unligini aniqlash ham mumkin. Shuningdek chastotali xarakteristikalarni hisoblash algoritmini kompyuterda bajarish qulay.

Mixaylovning turg‘unlik mezoni bо‘yicha tizim turg‘unligini aniqlash uchun xarakteristik tenglamaning amplituda-fazali xarakteristika (AFX) si quriladi. Masalan, tizimning xerakteristik tenglamasi quyidagicha bо‘lsin:

Operator belgisa “s” ni kompleks polinom belgisi “jω” bilan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:

=Re()+jIm(),

bu yerda Re()=a_n- a_n-2²+ a_n-4⁴-…,

Im()=(a_n-1- a_n-3²+ a_n-5⁴-…),

mos ravishda xarakteristik tenglamaning haqiqiy va mavhum qismlari. Chastotani noldan cheksizgacha (ω=0) о‘zgartirib, kompleks tekislikda tizimning xarakteristik tenglamasining AFX si hosil qilinadi va bu egri chiziqqa Mixaylov godografi deyiladi.

Mixaylov mezoni bо‘yicha turg‘unlik sharti bajarilishi uchun, chastota ω=0 oraliqda о‘zgarganda Mixaylov godografi hech qayerda nolga intilmasdan, koordinata boshini ketma–ket soat strelkasiga teskari yо‘nalishda n marta qamrab olishi shart va yetarli (8.1-rasm). Bu yerda n - xarakteristik tenglamaning darajasi.

8
.1-rasm. Mixaylov godografi

Naykvist turg‘unlik mezoni ochiq tizimning AFX sining kо‘rinishi bо‘yicha berk tizimlarning turg‘unligini aniqlash imkonini beradi.

Ochiq va berk tizimlarning xarakteristik tenglamalari bir biri bilan quyidagicha bog‘liq:

F(s)=1+W_OT(s)=1+ ,

bu yerda D(s) –ochiq tizimning xarakteristik tenglamasi. Agar AFX F(jω) bо‘yicha qurilsa, u holda kritik nuqta (0;j0), agar AFX W_OT(jω) bо‘yicha qurilsa, u holda kritik nuqta (-1;j0) bо‘ladi (8.2-rasm).

8.2-rasm. Berk (a) va ochiq tizimning (b) AFX

Naykvist mezoni bо‘yicha turg‘unlik sharti bajarilishi uchun, chastota noldan cheksizgacha (ω=0) о‘zgarganda ochiq tizimning AFX si (-1;j0) kritik nuqtani qamrab olmasligi shart va yetarli.

AFX moduli ga teng bо‘lgandagi chastotaga kesishish chastotasi deyiladi (ω_kes).

qiymatga turg‘unlikning faza bо‘yicha zaxirasi deyiladi. Modul bо‘yicha turg‘unlik zaxirasi :

bu yerda chastota quyidagi munosabatdan aniqlanadi:

Naykvist mezonidan shu xulosaga kelish mumkinki, ochiq tizim turg‘un bо‘lganda berk tizim turg‘un bо‘lishi uchun faza bо‘yicha siljish burchagi kesishish chastotasi w_kes da - dan oshmasligi kerak. Bu shartni bajarilishini ochiq tizimning logarifmik chastotali xarakteristikalar orqali tekshirib kо‘rish mumkin (8.3-rasm).
L(ω)=20 lg│W(jω)│

₀ ω_kes lgω
20 lg ∆H

φ(ω)=argW(jω)

ω_π lgω

0

ΔΘ

8.3-rasm. Tizimning LACH va LFCH xarakteristikalari.