Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Teorema 1.1.1 Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor maydonning yagona integral chizig‘i o‘tadi.
Isbot. Vektor maydonning

koordinata funksiyalari, nuqta berilgan bo‘lsa

differensial tenglamalar sistemasining

boshlanich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi nuqtadan o‘tuvchi integral chiziqni aniqlaydi.
Endi sirtlarda berilgan vektor maydonlarni qaraylik. Regulyar sirtning nuqta atrofidagi parametrlash usuli tenglama bilan berilgan bo‘lsin. Agar sirtga tegishli har bir nuqtaga shu nuqtadan chiquvchi vektor mos qo‘yilgan bo‘lsa, sirtda vektor maydon berilgan deyiladi. Agar vektor maydonning koordinata funksiyalari sirtda aniqlangan differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, vektor maydon silliq vektor maydon deyiladi, demak vektor maydon nuqta atrofida silliq bo‘lishi uchun

funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lishi lozim. Sirtda berilgan vektor maydonni ko‘rinishida yozish mumkin. Bu yerda vektorlar mos ravishda vektorning nuqtadan o‘tuvchi urinma tekislikka va normalga proyeksiyalaridir. Shunday qilib, sirtga urinuvchi va sirtga perpendikulyar vektor maydonlar hosil bo‘ldi. Agar silliq vektor maydon bo‘lsa, vektor maydonlar ham silliq bo‘ladi.
Buni isbotlash uchun berilgan nuqta atrofida ularning silliq ekanligini ko‘rsataylik. Buning uchun ni ko‘rinishida yozib, bu tenglikni vektorga skalyar ko‘paytirib munosabat hosil qilamiz. Bu yerda . Demak, tengliklar hosil bo‘ladi. Berilgan vektor maydon va silliq vektor maydonlar bo‘lganligi uchun differensiallanuvchi funksiyadir. Shuning uchun lar ham silliq vektor funksiyalar bo‘ladi.
Endi tenglam bilan parametrlangan silliq chiziq berilib, har bir uchun nuqtadan chiquvchi vektor mos qo‘yilsa, chiziqda vektor maydon berilgan deyiladi. Berilgan vektor maydonning koordinata funksiyalari differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, u silliq vektor maydon deyiladi. Agar

Silliq vektor maydon bo‘lsa

vektor maydon ning chiziq bo‘ylab differensiali deb ataladi.
Endi chiziq regulyar sirtda yotuvchi chiziq bo‘lib, da silliq vektor maydon berilib, har bir uchun sirtning nuqtasidagi urinma vektor bo‘lsin. Shunda vektor maydon sirtga urinma vektor maydon bo‘lishi shart emas. Lekin har bir uchun

tenglikni yozsak, sirtda urinma vektor maydonni hosil qiladi. Bu
vektor maydon uchun belgilash kiritib, uni ning kovariant differensiali deb ataymiz. Agar regulyar sirt nuqta atrofida tenglama bilan berilgan bo‘lsa har bir uchun

tenglikni yoza olamiz. Bu yerda funksiyalar ning ichki koordinatalardagi tenglamalaridir. funksiyalar esa vektorning bazisdagi koordinatalar bo‘lib, ular ning differensiallanuvchi funksiyalaridir.
Endi

tenglikda derivatsion formulalardan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan esa kovariant differensial uchun quyidagi ifodani topamiz:

Ravshanki, vektor maydonlarni songa ko‘paytirish va qo‘shish mumkin: , bu yerda . Bundan vektor maydonlar fazosi chiziqli fazoni tashkil etishi kelib chiqadi.
Bundan tashqari vektor maydonni funksiyaga ko‘paytirish mumkin,
_(1.1.2)