Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

I-BOB
VEKTOR MAYDONLAR
1.1§. Ko‘pxilliklarda vektor maydonlar
Tarif 1.1.1. Berilgan silliq ko‘pxillikning qism to‘plamida X vektor maydon berilgan deyiladi, agar har bir nuqtaga biror vektor mos qo‘yilgan bo‘lsa, ya’ni vektor maydonni

akslantirish sifatida qarash mumkin bo‘lsa.
Xususan, tekislikda berilgan vektor maydonni qaraylik. Ravshanki, tekislikda ikkita va nuqtalar yo‘nalishli kesmani aniqlaydi. U nuqtadagi vektor deyiladi va kabi belgilanadi (1.1.1-chizma). to‘plam tekislikdagi qandaydir nuqtalar to‘plami bo‘lsin. Agar - nuqtadagi vektor va , funksiyalar mos ravishda uning -komponentasi va -komponentasi bo‘lsa, u holda , funksiyalar nuqtani aniqlaydi. Shunday qilib to‘plamda aniqlangan vektor maydon , funksiyalar juftligini hosil qiladi (1.1.2-chizma).

1.1.1-chizma 1.1.2-chizma
Ta’rif 1.1.2 Berilgan sohada aniqlanuvchi X vektor maydon silliq deyiladi, agar quyidagi teng kuchli tasdiqlardan birortasi o‘rinli bo‘lsa:
a) vektor maydon silliq ko‘pxillikni silliq ko‘pxillikka akslantiruvchi akslantirish sifatida silliq bo‘lsa;
b) ko‘pxillikda aniqlangan ixtiyoriy silliq funksiya uchun sohada tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya silliq;
s) Har bir nuqta uchun karta topilib vektorlarning koordinatalari nuqtaning koordinatalariga silliq bog’liq bo‘lsa.
_{a) va s) tasdiqlarning teng kuchliligiga ishonch hosil qilamiz. Lokal koordinatalarda}
(1.1.1)
_{silliq funksiya uchun ham silliq bo‘lgani sababli s) tasdiqdan b) kelib chiqadi. (1.1.1) tenglikda koordinatali funksiya desak quyidagiga ega bo‘lamiz:}

Shuning uchun b) tasdiqdan s) kelib chiqadi. _{fazoning elementi sifatida lokal koordinatalarga ega bo‘lgani uchun a) tasdiqdan s) kelib chiqadi. Aksincha, s) tasdiqdan hamma} funksiyalar silliq ekanligi kelib chiqadi, undan tashqari funksiyalar da silliq bo‘lgani uchun vektorning barcha koordinatalari elementi sifatida silliq, yani s) tasdiqdan a) kelib chiqadi.
Ta’rif 1.1.3 Birorta sohada vektor maydon berilgan bo‘lib va shu sohada tenglama bilan aniqlangan differensiallanuvchi chiziq ham berilgan bo‘lsin. Agar har bir uchun bo‘lsa, chiziq vektor maydonning integral chizig‘i deyiladi.