Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar

3. Transponirlangan matritsa A matritsaning determinantini hisoblaganda biz ixtiyoriy satr yo ustun elementlarini ularning mos algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytirib qo‘shib chiqdik. Agar ixtiyoriy satr elementlarining moslariga ko‘paytirib qo‘shib chiqsak natija 0 ga teng bo‘ladi. Bu natija ustunlar uchun ham to‘gri .Balki hususiy holda isbotlaymiz.
5-misol. Algebraik to‘ldiruvchini ko‘paytirish
(3x3) o‘lchovli A matritsa umumiy holda berilgan bo‘lsin

A matritsaning bitta satrini boshqa satri algebraik to‘ldiruvchiga ko‘paytmasi nimaga teng?
Yechish. Avval algebraik to‘ldiruvchilar funksiyasi yordamida algebraik to‘ldiruvchilar matritsasini tuzib olamiz

Agar biz dastlabki matritsaning 1-satrini hosil bo‘lgan matritsa 1-satriga ko‘paytirsak quyidagiga ega bo‘lamiz:

Agar biz hosil bo‘lgan matritsaning satrini o‘zgartirsak quyidagi natijalarga ega bo‘lamiz:


Bu esa algebraik to‘ldiruvchining bir qiymatli aniqlanishini bildiradi. Bu natijadan biz teskari matritsani topishda foydalanamiz.


1-ta’rif. Biror n-tartibli determinantning elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1) - tartibli determinantga aytiladi va odatda M_ij orqali belgilanadi.
Masalan.

uchinchi tartibli determinantning a₂₃ elementining minori M₂₃= ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.


2-ta’rif. n-tartibli determinantning elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1)^i+j ishora bilan olinganiga aytiladi va orqali belgilanadi.
= (-1)^i+jM_ij
Misol.

determinantning a₄₃ elementining minorini va a₂₁ elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang.
M₄₃= =3-20-15+8= -24

A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁= - = -24+3-6+4= -23.

Minor va algebraik to’ldiruvchilar tushunchalari kiritilgandan keyin determinantning yana uchta xossasini ko’rib o’taylik.
1-xossa. Agar determinantning biror i-yo’lida (yoki j-ustunida) elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.
= = (-1)^i+j M_ij .


2-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi.
= a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ yoki a₁₁A₁₁₊a₂₁A₂₁+ a₃₁A_31.
Determinantning 2-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.
Misol.
=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +
+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .
3-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi.
Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+ a₃₂A₃₁=0 bo’lad