Milliy unviversiteti matematika

Yechish. М(х,у) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Shartga binoan
undan y=8 to’g’ri chiziqqacha MN  masofa va undan F(0,2)

nuqtagacha
MF 
masofa o’zaro teng ya‘ni,

13-chizma.
=

(13-chizma).

Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak (8-у)²=х²+(у-4)² yoki qavslarni ochsak.
64-16у+у²=х²+у²-8у+16 yoki 64-16у=х²-8у+16 hosil bo’ladi. Tenglamani soddalashtisak
-16у+8у=х²+16-64, -8у=х²-48

yoki –8 ga bo’lsak
y   ¹ x ²  6
8

tenglamaga ega bo’lamiz. U 0y o’qqa simmetrik parabolaning tenglamasi.
Endi parabolaning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Parabola tenglamasiga x=0 qiymatni qo’ysak y=6 kelib chiqadi. Demak parabola 0y o’q bilan 0₁(0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek paraborla tenglamasiga

y=0 qiymatini qo’ysak
 ¹ x²  6  0;  x²  48  0; x²  48;
8
x    4

hosil bo’ladi. Demak parabola 0x o’q bilan ekan.
(4
3,0)
^ва (4
3,0)
nuqtalarda kesishar

Agar parabola tenglamasini
y  6   ¹ x ²
8
yoki х²=-8(у-6) ko’rinishda yozib

x=X, y-6=Y almashtirish olsak uning tenglamasi Х²=-8У kanonik shaklni oladi.
Izoh. Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish yoki koordinata o’qlarini burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik ko’rinishga keltirish mumkin.

10-misol. F(0,4) nuqtadan hamda y=8 to’g’ri chiziqdan bir xil uzoqlikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o’rni, egri chiziqning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin. Yechish. М(х,у) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Shartga binoan undan y=8 to’g’ri chiziqqacha MN  (x  x)^2  (8  y)^2 masofa va undan F(0,2) nuqtagacha MF  (x  0)^2  ( y  4)^2 masofa o’zaro teng ya‘ni,

13-rasm

(x  x)²  (8  y)² =
(x  0)²  ( y  4)²
(13-rasm).

Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak (8-у)²=х²+(у-4)² yoki qavslarni ochsak.
64-16у+у²=х²+у²-8у+16 yoki 64-16у=х²-8у+16 hosil bo’ladi. Tenglamani soddalashtisak
-16у+8у=х²+16-64, -8у=х²-48

yoki –8 ga bo’lsak
y   ¹ x ²  6
8

tenglamaga ega bo’lamiz. U 0y o’qqa simmetrik parabolaning tenglamasi.
Endi parabolaning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Parabola tenglamasiga x=0 qiymatni qo’ysak y=6 kelib chiqadi. Demak parabola 0y o’q bilan 0₁(0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek paraborla tenglamasiga

y=0 qiymatini qo’ysak
 ¹ x²  6  0;  x²  48  0; x²  48;
8
x    4

hosil bo’ladi. Demak parabola 0x o’q bilan ekan.
(4
3,0)
^ва (4
3,0)
nuqtalarda kesishar

Agar parabola tenglamasini
y  6   ¹ x ²
8
yoki х²=-8(у-6) ko’rinishda yozib

x=X, y-6=Y almashtirish olsak uning tenglamasi Х²=-8У kanonik shaklni oladi.
Parabola shaklini uning y²= 2 px tenglamasiga ko’ra tekshiraladi. y²≥0 va p>0 bo’lgani uchun, y²= 2 px tengalamada ifodalanuvchi parabolaning barcha nuqtalari o’ng yarim tekislikda joylashganligi kelib chiqadi. X=o da y²= 2 px >> y=o bo’lib, parabola koordinatalri boshidan o’tadi. Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi. X ning har bir x>0 qiymatiga Y ning ishoralari qarama-qarshi , ammo absolut miqdorlari teng bo’lgan ikki qiymati mos keladi. Bundan esa parabolaning Ox o’qqa nisbatan simmetrik joylashganligi ko’rinadi.Ox o’qi simmetriya o’qi. y²= 2 px tenglamadan ko’rinadiki, X ortib borishi bilan Y ham ortib boradi.

Tekislikda Dekart koordinatalari sistemasini olaylik. Bu tekislikda OY o’qiga parallel to’g’ri chiziq va bu to’g’ri chiziqqa tagishli bo’lmagan F(a,b) nuqta berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziq va F nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni parabola deyiladi. F nuqta parabolaning fokusi, qaralayotgan to’g’ri chiziq esa uning direktrisasi deb ataladi. Bu tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

Abssissa o`qi F fokus nuqtadan DD direktrisaga perpendikulyar ravishda o`tuvchi, ordinata o`qi esa fokus va direktrisalarning o`rtasidan o`tuvchi koordinatalar sistemasi tanlasak, parabola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishni oladi

y² = 2 P x,
bu yerda, P – fokus va direktrisa orasidagi masofa.
Direktrisa tenglamasi , fokus esa F( ; 0 ) (6 – rasm).
Koordinatalar boshi parabola uchi, abssissa o`qi esa uning simmetriya o`qidir. Parabola ekstsentrisiteti ε = 1.
Agar ordinata o`qi parabola simmetriya o`qi bo`lsa, u holda uning tenglamasi x<sup>2</sup>  = 2 P y  (P>0) ko`rinishda bo`lib, direktrisa tenglamasi va fokusi F(0; ) nuqtadir.
Uchi (x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>) nuqtada, simmetriya o`qlari koordinata o`qlaridan biriga parallel parabola quyidagi tenglamalar bilan aniqlanadi:
(y–y<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2P(x–x<sub>0</sub>) yoki (x–x<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2 P(y–y<sub>0</sub>).
Masala. 0y ordinata o`qiga va x² + y² = 4 aylanaga urinuvchi aylanalar markazlari to`plami tenglamasini tuzing.
M(x; y) – aylanalar markazlari to`plamining ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. Masala shartiga binoan KM = AM (7-rasm). Berilgan aylana radiusi 0K=2 ekanligini va KM = 0M – 0K tenglikni hisobga olsak, koordinatalarda quyidagi tenglamani olamiz:

x² + y² - 2 = |x| yoki y ² = 4 |x| + 4.

Ushbu tenglama uchlari (-1; 0) va (1; 0) nuqtalarda, fokuslari koordinatalar boshida, direktrisalari mos ravishda x = -2 va x = 2 to`g`ri chiziqlardan iborat, abssissa o`qi simmetriya o`qi bo`lgan parabolalarni ifodalaydi (7-rasm).

Adabiyotlar

1. 
   Ё.У.Соатов-Олий математика 1-жилд.Тошкент, 1992й.
   
2. 
   С.М.Николский-Курс математического анализа.1-том.Москва,1973й.
   
3. 
   Б.Абдалимов,Ш.Солихов-Олий математика қисқа курси.Тошкент,1981й.
   
4. 
   Э.Холмуродов,З.Узоқов-Экстремумлар назариясининг амалий масалалар ечишга тадбиқи,Қарши,1991й.
   
5. 
   В.А. Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов-Олий математика қисқа курси. 1-қисм. «Ўқитувчи»,1983й.
   
6. 
   Т.Н.Қори-Ниёзий-Аналитик геометрия асосий курси. Тошкент
   

«Ўқитувчи»,1971й.

7. 
   Ш.И.Тожиев-Олий математикадан масалалар ечиш.Тошкент,
   

«Ўзбекистон»,2002й.