Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

Оптимальное квантование


Оптимальным квантованием будем считать такой выбор интервалов

квантования и значений их представителей, при котором
² минимальна.

q
Выбор дисперсии в качестве критерия обусловлен такими достоинствами этой меры, как универсальность; простота расчетов и построения алгоритмов; высокая коррелированность с субъективными показателями качества.
Пусть плотность вероятности значений исходного сигнала постоянна в пределах интервала квантования, тогда



2


q ^pq _
^fq 1 _{( f}

• 
  f ^q
  

2
) df
 p_q
^fq 1

f_q
^pq ^


^q ³ 


_{q }3 _
f_q
. (4.20)

 _ f_q1  f
³ _^
_  _ f_q  f
 
_ 
^ _

Оптимальное положение уровня квантования
f ^q в интервале [ f_q , f_q1]


можно найти, решая задачу о минимуме ошибки как функции от
f ^q .

Приравнивая нулю производную от
² по f ^q

q

q
²
/ f ^q
 0 ,

получаем
f ^q  f_q1  f_q / 2 . (4.21)
Из (4.21) оптимальное значение уровня квантования соответствует середине интервала квантования, при этом максимальная ошибка квантования внутри интервала составляет не более половины интервала квантования.
Подставив выражения (4.21) в (4.20), получим




2 ^pq
q 12
f_q1 
f_q ³ . (4.22)

Дисперсия ошибки квантования

L
2 ² 2

1. 
   ²L
   

 ³

_Q  __q
q1
 _ p_q q1
^fq1 ^{ f}q
. (4.23)

12
В общем случае оптимальное положение пороговых уровней и уровней квантования получают из точного уравнения ошибки квантования, полученного с учетом (4.19):

2
₂^{L f}q 1 _{
q }2

_Q  _{  } f  f _ p( f )df
. (4.24)


q1 _fq ^{ }

Дифференцируя

2. 
   по переменным
   

f _q и
f ^q и приравнивая производные

Q
нулю, получим систему уравнений:
^_ у ² f_q  0
_ Q _.
у ² f ^q  0
_ Q
После преобразований, она сводится к системе уравнений:

f



q
^{ q}  2 f 
q1
f a)

^{ f}q 1




^ f ^q  ^fq
fp( f )df

, (4.25)
б)


^{ f}q 1
_{ } p( f )df


 _fq
где q=1..2 ^L .
Решая эти уравнения рекуррентным способом, для заданной плотности вероятностей находят оптимальные значения пороговых уровней и уровней квантования. Макс (J. Max) решил такую задачу для гауссовой плотности и составил таблицы размещения пороговых уровней в зависимости от числа уровней квантования. На рисунке 4.5 представлена амплитудная характеристика квантователя Макса [12] для трехразрядного представления сигнала.
Подставив (4.25б) в (4.24), получим, что дисперсия ошибки квантования для оптимального квантователя уменьшается до значения:

L
2 _ 2 _ ²
_{q 2} ^fq 1

_Q  M_ f _  _( f ) _ p( f )df . (4.26)
^{ } q 1 _fq
Для частного случая равномерной плотности распределения сигнала, при которой

p(f)=
1
fmax 


fmin
=const,

оптимальные значения уровней квантования из (4.25 б) определяются в соответствии с выражением:
f ^q  f _q1 f_q / 2 .
Оптимальные значения пороговых уровней в соответствии с (4.25 а)

q
^{f  } ^{f q }

^{f q1 } ^{/ 2 .}


Следовательно, при равномерной плотности вероятности сигнала изображения оптимальным является равномерное квантование, при котором интервал квантования:
f   fmax  fmin / 2 ^L , (4.27)
а плотность распределения:

p f   1 /
^{2 L f } ^.


Дисперсия шума квантования в этом случае из (4.26):

_Q f ) /12 .
 ²  ( ² (4.28)
Отношение сигнала к СКО шума квантования в этом случае составляет

^{ f} max ^
f min ^
( f _max 
^f min ^{)2 L}


 _кв  20lg
Q
 20lg
^{ f} max ^
f min ^
 10,8  6L ,
дБ .(4.29)

Из (4.29) следует, что увеличение числа разрядов квантования на 1
приводит к повышению отношения сигнал/шум примерно на 6 дБ.
Существующие устройства осуществляют обычно равномерное квантование сигналов. Используя такие устройства, оптимальное квантование можно выполнить, если перед равномерным квантованием сигнал подвергнуть нелинейному преобразованию (предыскажению), формирующему сигнал с равномерной плотностью вероятности.

2. Квантование сигнала при наличии шумов

Рассмотрим воздействие аддитивного шума на процесс квантования при равномерной амплитудной характеристике квантователя. Входной сигнал представим в виде:
u(t)=f(t)+n(t),
где f(t)- входной полезный сигнал; n(t)- аддитивный шум.
Квантование считается безошибочным, если сигнал u(t) попадает в тот же интервал квантования, что и сигнал f(t). Если же сигнал u(t) попадает в другие интервалы квантования, то возникают дополнительные ошибки квантования, вызванные шумом. Количественную оценку влияния шума на квантование дал Фридман [30]. Построенная им кривая представлена на рисунке 4.6 как кривая 0.
При построении этой кривой предполагается, что значения сигнала равновероятны в пределах диапазона квантования. Шум нормальный с СКО  .

Кривая соответствует вероятности правильного присвоения двоичного числа, соответствующего незашумленному сигналу с ошибкой
^ 0 в зависимости от  , равного отношению шага квантования f к 
шума. Фульц расширил рамки анализа, определив вероятность присвоения данного двоичного числа уровню, отличающемуся на величину ^ n от правильного уровня. Кривая 0 соответствует ошибке ±0, кривая 1
соответствует ошибке ±1 и т.д.



Рисунок 4.5 Амплитудная характеристика оптимального квантователя Макса.
Формула интегрального распределения ошибок квантования, обусловленных шумом, имеет вид [31]:
P_n  2n  1 _u ( n  1)  2n _u n  1 

1 / 
 / 2 ^exp
 n  1² ^{2
/ 2} ^{ exp} ^{ n 22 / 2}^{ ,}

где
_{ }

  f / у ,
  ^_

 _u (U ) 
1 ^U
_ e

t ² / 2


dt =
1 ^U
_ e
0
t ² / 2


dt  0,5  (U )  0,5, (4.30)

где (U ) - интеграл вероятностей.
Определим понятие L полезных разрядов. Если имеется L полезных разрядов, то это означает, что в результате действия шума вероятность правильного формирования (L+1) разряда составляет 0,5. То есть, если мы выбираем 8 полезных разрядов, то это означает, что 9-й разряд правильно не опознается, т.е. вероятность правильного прочтения этого разряда равна 0,5. Кривая 0 на рисунке 4.6 показывает, что разряду L+1 (вероятность 0,5) соответствует значение  =1,47. Значит, при L полезных разрядах ((L+1)- й не нужен)  =1,47x2=2,94, т.е. шаг квантования должен быть в 2,94 раза больше СКО шума.

Качество работы системы можно оценивать также по уровню шума, вводимого квантователями (АЦП). Мощность шума ( у_Q ), вносимого
процессом квантования, определяется в соответствии с (4.28). Будем называть систему уравновешенной, если дисперсия шума квантования равна сумме дисперсий всех шумовых сигналов любого происхождения, генерируемых в системе до квантования, т.е.

^{у 2}до_квантования ^{ f 2 / 12}
или  
 3,464 .

_P 1
n=10
0,9
n=1
0,8
2
0,7

0,6

0,5
n=0
0,4

0,3

0,2

0,1

0 _
0,1 1 10

1
n=10
0,9
n=1
0,8
2
0,7

0,6

0,5
n=0
0,4

0,3

0,2

0,1

0
0,1 1 10
Таким образом, на основании двух критериев можно пользоваться общим правилом, согласно которому отношение шага квантования к СКО шума примерно равно 3.

n=10

n=1

2

n=0

Рисунок 4.6 График зависимости вероятности квантования от отношения интервала квантования к СКО аддитивного шума  .
При n=0 кривая соответствует вероятности безошибочного квантования при наличии шума. Ее можно использовать для выбора числа уровней квантования при заданной мощности шума и требуемой достоверности отсчета.

3.