|
bo‘laklab integrallash formulasi
deyiladi. Ayrim hollarda (4) formulaning chap
tomonidagi integralni hisoblash murakkab, o‘ng tomondagi integral esa osonroq hisoblanadi.
Demak, berilgan
dx
x
f
)
(
integralni (4) formula orqali bo‘laklab integrallash usulida
hisoblash quyidagi algoritm asosida amalga oshirilishi mumkin:
Integral ostidagi
f
(
x
)
dx
ifodani ikki bo‘lakka ajratamiz;
Hosil bo‘lgan bo‘laklardan
dx
qatnashganini
dv
, ikkinchisini esa
u
orqali belgilaymiz;
Hosil qilingan
dv
differensial bo‘yicha biror
v
boshlang‘ich funksiyani topamiz.
Buning uchun
dv
v
aniqmas integralni hisoblab, unda ixtiyoriy
C
o‘zgarmas sonni
C
=0 deb olish
mumkin;
Hosil qilingan
u
funksiya bo‘yicha
du
differensialni
hisoblaymiz;
(4) tenglikni o‘ng tomonidagi
vdu
integralni hisoblaymiz;
Berilgan
udv
dx
x
f
)
(
integralni (4) tenglikning o‘ng tomoni orqali topamiz.
Bunda
f
(
x
)
dx=udv
bo‘laklashda
u
va
dv
shunday tanlanishi kerakki, (4) formuladagi
vdu
jadval integrali yoki hisoblanishi osonroq bo‘lgan integraldan iborat bo‘lsin.
Bo‘laklab integrallash usuliga misol sifatida
dx
xe
x
integralni hisoblaymiz. Bunda ikki holni
qaraymiz.
1-hol.
Integral ostidagi
xe
x
dx
ifodani
u=e
x
,
dv=xdx
ko‘rinishda bo‘laklaymiz. Bu holda
C
x
xdx
dv
v
dx
e
dx
e
de
du
x
x
x
2
,
)
(
2
bo‘lgani uchun,
C
=0 deb, (4) formuladan
dx
e
x
e
x
dx
xe
x
x
x
2
2
2
1
2
tenglikka kelamiz. Ammo bunda hosil bo‘lgan o‘ng tomondagi integral berilgan integralga nisbatan
murakkabroq ko‘rinishga ega. Demak, bunday bo‘laklash maqsadga muvofiq emas.
2-hol.
Bu holda
u=x
,
dv=e
x
dx
deb olamiz. Bunda
C
e
dx
e
dv
v
dx
du
x
x
,
bo‘ladi. Bu yerda
C
=0 deb va (4) formuladan foydalanib, berilgan integralni quyidagicha oson
hisoblaymiz:
C
e
x
C
e
xe
dx
e
xe
dx
xe
x
x
x
x
x
x
)
1
(
.
Ayrim integrallarni hisoblash uchun bo‘laklab integrallash formulasini bir necha marta
qo‘llashga to‘g‘ri keladi. Bunga misol sifatida ushbu integralni
qaraymiz:
xdx
x
x
x
x
xdx
v
xdx
du
xdx
dv
x
u
xdx
x
cos
2
cos
cos
sin
,
2
,
sin
,
sin
2
2
2
.
)
cos
sin
(
2
cos
)
sin
sin
(
2
cos
sin
cos
,
,
cos
,
2
2
C
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
x
xdx
v
dx
du
xdx
dv
x
u
Shunday qilib, bu yerda (4) bo‘laklab integrallash formulasidan ikki marta foydalandik.
Izoh:
Yuqoridagidek mulohaza yuritib,
xdx
x
n
sin
,
n
=1,2,3, … , integral bo‘laklab
integrallash formulasini
n
marta qo‘llash orqali hisoblanishini ko‘rish mumkin.
Bo‘laklab integrallash usulida
,
ln
,
,
,
sin
,
cos
2
2
xdx
x
dx
a
x
dx
x
a
axdx
x
axdx
х
n
x
n
n
n
xdx
xdx
x
xdx
x
bxdx
e
bxdx
e
n
n
ax
ax
ln
sin
,
,
arccos
,
sin
,
cos
arctg
va shularga o‘xshash integrallarni hisoblash mumkin.
2.5.
Kvadrat uchhadli integrallarni hisoblash.
Endi kvadrat uchhad qatnashgan
ayrim aniqmas integrallarni hisoblash masalasini ko‘rib chiqamiz.
Dastlab ushbu integrallarni qaraymiz:
c
bx
ax
dx
I
c
bx
ax
dx
I
2
2
2
1
,
.
Avvalo maxrajdagi kvadrat uchhaddan to‘liq kvadratni ajratib olamiz:
2
2
2
2
2
)
2
(
)
2
(
2
2
а
b
а
с
а
b
х
а
b
х
а
а
с
х
а
b
х
а
с
bx
ax
2
2
)
2
(
к
а
b
х
а
.
Bu yerda
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
а
D
а
a
с
b
а
с
а
b
k
belgilash kiritilgan. Bunda, agar kvadrat uchhad diskriminanti
D=b
2
–4
ac
>0 , ya’ni uning ildizlari
haqiqiy sonlar bo‘lsa,
k
2
manfiy ishora bilan;
D
<0 bo‘lsa
k
2
musbat ishora bilan olinadi. Ikkala
holda ham
k
≠0 bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz.
D=
0 holni keyinchalik ko‘ramiz.
Yuqoridagi tenglik asosida
I
1
integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida quyidagi
ko‘rinishga keltiramiz:
2
2
2
2
2
1
1
)
2
(
,
2
)
2
(
1
к
t
dt
a
dx
а
b
х
d
dt
а
b
х
t
к
а
b
x
dx
а
с
b
х
ax
dx
I
.
Bu tenglikning o‘ng tomonida jadval integrali turibdi va
C
k
t
k
t
k
k
t
dt
C
k
t
k
k
t
dt
ln
arctg
2
1
,
1
2
2
2
2
ekanligini eslatib o‘tamiz.
Endi
a
<0 holni ko‘ramiz. Bu holda kvadrat uchhad diskriminanti
D
>0 deb olishimiz kerak,
chunki aks holda barcha nuqtalarda
ax
2
+
bx
+
c
≤0 va
I
2
integral ostidagi funksiya aniqlanmagan
bo‘ladi. Bu shartda
dx
dt
а
b
х
t
а
b
x
k
dx
a
с
b
х
ax
dx
I
,
2
)
2
(
1
2
2
2
2
C
ak
b
ax
a
C
k
t
a
t
к
dt
a
2
2
arcsin
1
arcsin
1
1
2
2
.
Endi umumiyroq ko‘rinishdagi quyidagi integrallarni qaraymiz:
dx
с
b
х
ax
B
Ax
I
dx
с
b
х
ax
B
Ax
I
2
4
2
3
,
.
Oldin
I
3
integralni hisoblash yo‘lini ko‘rsatamiz:
dx
с
b
х
ax
а
Ab
В
b
ax
a
A
dx
с
b
х
ax
B
Ax
I
2
2
3
)
2
(
)
2
(
2
1
2
2
2
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
)
2
(
2
I
a
A
В
с
b
х
ax
dx
b
ax
a
A
с
b
х
ax
dx
a
A
В
с
b
х
ax
dx
b
ax
a
A
1
2
1
2
2
)
2
(
ln
2
)
2
(
)
(
2
I
a
A
В
с
b
х
ax
a
A
I
a
A
В
с
b
х
ax
с
b
х
ax
d
a
A
.
Bu yerda
I
1
yuqorida ko‘rib o‘tilgan integraldir va uni hisoblashni bilamiz.
I
4
integral ham shu kabi hisoblanadi:
2
2
2
2
4
)
2
(
)
(
2
I
a
A
B
с
b
х
ax
с
b
х
ax
d
a
A
dx
с
b
х
ax
B
Ax
I
2
2
)
2
(
I
a
A
B
с
b
х
ax
a
A
.
Bu yerdagi
I
2
integralni hisoblash usuli yuqorida ko‘rsatilgan edi.
XULOSA
Differensiallash amaliga nisbatan integrallash amali ancha murakkabdir. Hatto ayrim
elementar funksiyalarning aniqmas integrallari elementar funksiyalar sinfida mavjud bo‘lmasdan,
ular maxsus (noelementar) funksiyalar orqali ifodalanadi. Bundan tashqari ixtiyoriy aniqmas
integralni hisoblashga imkon beradigan universal, umumiy usul mavjud emas. Shu sababli faqat
ayrim , ma’lum bir xususiyatlarga ega bo‘lgan, aniqmas integrallarni hisoblash usullarini ko‘rsatish
mumkin. Ularga yoyish, differensial ostiga kiritish, o‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab
integrallash usullari kiradi.
Ko‘rsatilgan usullardan foydalanib kvadrat uchhad qatnashgan ayrim aniqmas integrallarni
hisoblash mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
