|
12.261. a)
1
2
;
0
,
cos
1
2
cos
1
2
8
3
n
x
n
n
n
x
f
b)
1
1
2
;
0
,
sin
1
2
sin
2
n
n
x
n
n
n
n
x
f
Ikki va uch o’lchovli integral, uning xossalari,
geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki va uch o’lchovli
integralni hisoblash. Ikki va uch karrali integralda
o’zgaruvchilarni almashtirish.
Ikki o’lchovli integralni qutb koordinatalar
sistemasida
hisoblash. Ikki va uch o’lchovli integrallarning geometriya
va mexanikagatadbiqi.
13-BOB. IKKIO’LCHOVLI,
UCHO’LCHOVLIVAEGRICHIZIQLIINTEGRALLAR
§ 13.1. Ikkio’lchovliintegrallarvaularnihisoblash
xOy
tekislikda
l
yopiq chiziq bilan chegaralangan
D
soha va unda uzluksiz
y
x
f
z
,
funksiya
bilan aniqlangan sirt berilgan bo’lsin.
D
sohani ixtiyoriy chiziqlar bilan
n
ta:
n
S
S
S
,...,
,
2
1
bo’laklarga (13. 1-shakl ) bo’lamiz.
13. 1-shakl
Ularning yuzalarini mos ravishda (belgilashni o’zgartirmasdan)
n
S
S
S
,...,
,
2
1
deb belgilaymiz.
Har bir bo’lakchada ixtiyoriy (xoh bo’lakchaning ichida , xoh chegarada bo’lsin)
n
ta
n
Р
Р
Р
,...,
,
2
1
nuqtalarni
tanlaymiz. Tanlangan nuqtalarning har birida funksiyaning
n
Р
f
Р
f
Р
f
,...,
,
2
1
qiymatlarini
hisoblaymiz va
i
i
S
Р
f
ko’rinishidagi ko’paytmalardan yig’indi tuzamiz:
n
i
i
i
n
n
n
S
Р
f
S
Р
f
S
Р
f
S
Р
f
V
1
2
2
1
1
...
(13.1)
Bu yig’indi
D
sohada
y
x
f
,
funksiya uchun integral yig’indi deyiladi.
Agar
D
sohada
0
,
y
x
f
bo’lsa, u holda
i
i
S
Р
f
ko’paytmani geometrik ma’noda asosi
i
S
, balandligi
i
Р
f
bo’lgan kichik silindrchaning hajmi deb qarash mumkin.
n
V
yig’indi, elementar (kichik) silindrchalar hajmlari yig’indisidan iborat bo’lib, yuqoridan
tenglamasi
y
x
f
z
,
(
0
,
y
x
f
) bo’lgan sirtning qismi, pastdan
0
z
tekislikdagi
D
soha va
yasovchisi
Oz
o’qqa parallel, yo’naltiruvchisi
D
-sohaning chegarasi
l
chiziqdan iborat bo’lgan silindrik sirt
bilan chegaralangan jismning (13.1 -shakl) hajmidan iborat bo’ladi.
13.2 -shakl
y
x
0
(D)
Z=f(x,y)
Z
0
y
x
D
L
Ta’rif (1)
. Integral yig’indining
n
da,
i
S
bo’lakchaning eng katta diametri nolga
intilgandagi limitiga (agar bu limit mavjud bo’lsa)
D
sohada
y
x
f
,
funksiyadan olingan ikki o’lchovli
integral deyiladi va
D
dS
Р
f
yoki
D
dxdy
y
x
f
,
ko’rinishida belgilanadi, ya’ni
D
n
i
i
i
S
diam
dxdy
y
x
f
S
Р
f
V
i
,
lim
1
0
(13.2)
Bu yerda
D
-integrallash sohasi deyiladi.
Ikki o’lchovli (1) integralni hisoblash masalasini qaraymiz.
D
soha
х
f
y
1
va
х
f
y
2
,
а
х
va
b
х
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli
trapetsiya bo’lsin (13.3-shakl).
13.3-shakl
Bunda
х
f
1
va
х
f
2
funksiyalar [
a
;
b
] kesmada uzluksiz bo’lib,
х
f
х
f
2
1
,
b
a
deb qabul
qilamiz.
D
soha shundayki,uning ichki nuqtalaridan o’tadigan va koordinata o’qlaridan biriga, masalan
Oy
o’qiga parallel har qanday to’g’ri chiziq, uning chegarasini
1
М
va
2
М
nuqtalarda kesib o’tadi. Bunday soha
Oy
o’qi yo’nalishida to’g’ri soha deyiladi. [
Ox
o’qi bo’yicha to’g’ri soha ham xuddi shunday aniqlanadi].
y
x
f
,
funksiya
D
sohada uzluksiz bo’lsin.
Ikki karrali integral deb ataluvchi
b
a
х
f
х
f
D
dx
dy
y
x
f
J
2
1
,
ifodani qaraymiz. Bu integralni hisoblash uchun avvalo x ni o’zgarmas miqdor deb qarab, ichki integral
hisoblanadi. Natija x ga bog’liq bo’lgan uzluksiz funksiya bo’ladi,
х
f
х
f
dy
y
x
f
х
Ф
2
1
,
Bu funksiyani [
a
,
b
] kesmada
x
o’zgaruvchi bo’yicha integrallasak,
b
a
D
dx
х
Ф
J
Natija qandaydir o’zgarmas son bo’ladi.
Xususiy holda to’g’ri soha to’g’ri to’rtburchak ko’rinishida bo’lishi ham mumkin. Bu holda
D
soha
d
y
c
y
b
x
a
x
,
,
,
to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan bo’ladi (13.4-shakl). Ham
Ox
, ham
Oy
o’qlar yo’nalishida to’g’ri bo’lgan soha qisqacha to’g’ri soha, yoki standart soha deb ataladi.
y
x
0
a
x
b
p
y
d
c
13.4-shakl
Biz yuqorida, 2-shaklda ifodalangan jismning hajmini ikki o’lchovli
D
dxdy
y
x
f
V
,
(13.3)
integral yordamida hisoblagan edik. Endi shu hajmni parallel kesimlar yuzalari yordamida hisoblaymiz.
Qaralayotgan jismni
b
х
a
const
x
tekislik bilan kesamiz. Kesimda hosil bo’lgan
х
S
yuzani hisoblaymiz (13.5-shakl). Bu
y
x
f
z
,
const
x
,
0
z
,
х
f
y
1
,
х
f
y
2
chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasidir.
Bu yuza
х
f
х
f
dy
y
x
f
х
S
2
1
,
(13.4)
Injtegral bilan ifodalanadi. Parallel kesimlar yuzalarini bilgan holda jismning hajmini oson hisoblash
mumkin.
b
a
dx
х
S
V
13.5- shakl
yoki
х
S
yuza uchun (13.3) ifodani qo’ysak,
b
a
х
f
х
f
dx
dy
y
x
f
V
2
1
,
(13.5)
formulani hosil qilamiz (13.3) va (13.5) formulalarda chap tomonlar teng, demak, ularning o’ng tomonlari
ham teng bo’ladi.
b
a
х
f
х
f
D
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
V
2
1
,
,
(13.6)
Tekis figuralarning yuzi
S
ham ikki o’lchovli integral ko’rinishida berilishi mumkin. Bunda
1
,
y
x
f
deb
olinadi.
D
dxdy
S
(13.7)
Bu yerda integrallash sohasi to’g’ri soha bo’lsa, u holda:
dx
,
1
2
2
1
b
a
b
a
х
f
х
f
х
f
х
f
dx
dy
y
x
f
S
(13.8)
Ikki o’lchovli integralni hisoblashda o’zgaruvchilarni almashtirish ba’zan qulaylik beradi.
Faraz qilaylik,
z
x
0
x
a
b
y
S(x)
y
x
v
v
y
x
u
u
,
,
(13.9)
Funksiyalar berilgan, bu funksiya
xOy
tekislikning biror
D
sohasida aniqlangan,uzluksiz xususiy
hosilaga ega.
v
u
y
y
v
u
х
х
,
,
(13.10)
bo’lsin, u holda
D
sohaning har bir
y
x
u
,
nuqtasiga biror qiymat aniqlovchi
v
u
,
sonlar jufti mos
keladi, ya’ni quyidagi formula o’rinli bo’ladi
1
v
u,
v
u,
,
v
u,
,
D
D
dudv
J
y
x
f
dxdy
y
x
f
(13.11)
yoki
1
v
u,
,
D
D
dudv
J
F
dxdy
y
x
f
Bu yerda
J
determinant
v
u,
x
va
v
u,
y
funksiyalarning funksional determinanti yoki yakobian
deb yuritilib, uning qiymati
v
y
u
y
v
x
u
x
J
determinant bilan hisoblanadi.
(13.11) formula
D
sohabo’yichaolinganikkio’lchovliintegralnihisoblashni
1
D
sohabo’yichaolinganikkio’lchovliintegralnihisoblashgaolibkelishgaimkonberadi.
Xususiy holda qutb koordinatalar sistemasida (13.10)-formula quyidagi ko’rinishiga ega bo’ladi.
sin
y
cos
x
(13.12)
Bu almashtirishda yakobian quyidagicha hisoblanadi
2
2
sin
sin
sin
х
y
,
J
с
os
с
os
с
os
у
х
U vaqtda (12.11) formula quyidagi ko’rinishni oladi.
d
d
f
dxdy
y
x
f
D
D
1
sin
,
cos
,
(13.13)
Agar
D
soha qutb burchaklari
1
va
2
2
1
bo’lgan nurlar va
1
2
2
1
egri
chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsa, bu sohaga mos keluvchi qutb koordinatalari
2
1
2
1
1
;
D
sohada o’zgaradi va (13.13) formula quyidagi ko’rinishni oladi
d
dy
f
d
dxdy
y
x
f
D
2
1
2
1
sin
,
cos
,
Do'stlaringiz bilan baham: |
