|
§ 10.2 Birinchi tartibli xususiy va to`liq hosilalar
7
.
funktsiyada
y
ni o’zgarmas deb qarab,undan
x
bo’yicha olingan hosila
z
ning
x
bo’yicha
xususiy hosilasi
deyiladi va u
yoki
ko’rinishida belgilanadi
z
ning
y
bo’yicha xususiy hosilasi ham shunga o’xshash
ta’riflanadi va quyidagicha belgilanadi
, ya’ni
.
8
. Agar
funksiya
nuqtada uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsa, uning to’liq
ortirmasi
ko’rinishda yoziladi, bunda
nolga intilganda
. U holda
ifoda to’liq ortirrma
ning bosh qismi bo’ladi: u funktsiyaning
to’liq differensiali deyiladi va
orqali belgilanadi:
“A” guruh
Quyidagi birnchi tartibli xususiy hosilalarni hisoblang.
10.91.
а
)
в
)
10.92.
10.93. 10.94.
10.95.
10.96. 10.97.
10.98.
2
2
3
3
0
0
sin
lim
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
0
0
lim
y
x
y
x
y
x
xy
xy
y
x
1
lim
0
0
3
3
3
3
0
0
lim
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
sin
lim
1
1
xy
xy
y
x
ln
lim
0
0
x
y
x
e
y
x
1
0
0
2
lim
2
3
1
1
lim
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
1
sin
lim
2
2
0
0
x
xy
y
x
sin
lim
2
0
y
x
x
y
x
0
0
lim
2
2
lim
y
x
y
x
y
x
k
k
y
x
x
y
1
lim
2
2
2
2
0
0
lim
y
x
y
x
y
x
1
1
lim
2
2
2
2
0
0
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
0
0
1
1
lim
y
x
y
x
y
x
2
2
3
3
0
0
sin
lim
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
2
2
0
0
cos
1
lim
y
x
y
x
y
x
y
x
4
4
1
0
0
2
2
lim
y
x
e
y
x
y
x
2
2
2
2
0
0
1
1
lim
y
x
y
x
y
x
y
x
f
z
,
x
z
y
x
f
x
,
x
y
x
f
y
x
x
f
x
f
y
x
f
x
x
,
,
lim
,
0
y
x
f
y
z
y
,
y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
y
y
,
,
lim
,
0
y
x
f
z
,
y
x
,
y
y
z
x
x
z
z
2
2
y
x
0
0
y
y
z
x
x
z
z
dz
dy
y
z
dx
x
z
dz
2
2
y
e
x
z
3
2
3
3
y
y
x
x
z
2
2
ln
y
x
z
x
y
z
x
y
arctg
z
y
x
xy
z
yx
xe
z
2
2
y
x
z
2
2
y
x
x
z
10.99. 10.100
10.101.
10.102. 10.103.
10.104.
10.105. 10.106
10.107.
“B” guruh
10.108 10.109
10.110.
10.111 10.112
10.113.
10.114
10.115.
10.116
10.117 10.118
10.119.
.
va
ni
dagi qiymatini toping.
10.120.
.
va
ni
dagi qiymatini hisoblang.
“C” guruh
Quyidagi funksiyani to’liq hosilasini toping.
10.133.
10.134.
10.135.
10.136. 10.137. 10.138.
10.139.
10.140.
10.141
10.142. 10.143.
10.144.
10.145.
10.146.
10.147.
10.148.
10.149.
10.150.
10.151. 10.152. 10.153.
10.154.
10.155.
10.156.
10.157.
Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi. Sirtga
o’tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamasi.
x
y
arctg
z
y
x
z
x
y
e
z
sin
y
a
x
z
sin
ln
z
xy
u
u
u
z
2
3
2
2
3
3
y
x
y
x
z
3
3
2
7
5
y
y
x
z
3
x
y
y
x
z
y
x
arctg
z
1
2
2
2
2
arcsin
y
x
y
x
z
x
y
x
x
y
x
z
2
2
2
2
ln
y
x
tg
z
ln
3
log
1
x
z
y
xy
xye
z
sin
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
z
y
x
arctg
z
xy
xy
z
1
1
2
yz
x
u
sin
z
y
x
arctg
u
3
3
bt
az
u
z
u
t
u
a
t
b
z
,
y
x
x
y
y
x
z
sin
sin
1
cos
cos
x
z
y
z
0
y
x
y
x
e
z
xy
2
1
ln
y
e
z
x
y
x
y
x
z
y
x
z
sin
y
y
x
z
arcsin
x
y
y
x
z
2
2
ln
y
x
z
x
y
tg
z
/
ln
2
2
sin
y
x
z
y
x
z
2
2
ln
y
x
x
u
y
x
y
e
u
x
sin
cos
x
y
y
x
e
u
y
x
sin
cos
y
x
y
x
arctg
z
sin
4
sin
2
xyz
e
u
2
3
5
y
x
z
z
xy
u
y
x
z
cos
sin
y
x
x
y
z
2
2
y
x
e
z
y
x
z
2
2
cos
sin
?
1
;
1
;
)
,
(
2
df
x
y
y
x
z
2
;
1
;
0
;
)
,
,
(
2
2
2
dz
e
z
y
x
z
z
y
x
2
2
ln
y
x
x
z
z
y
x
u
2
§ 10.3. Yo`nalish bo`yicha olingan hosilalar haqida tushunchalar
9
.
tenglama biror sohaning har bir
nuqtasida ni aniqlab beradi, o’sha
soha skalyar ning maydoni deyiladi. Bumaydonning
nuqtasiniva
nuqtadan
birlik vektor yo’nalishida chiquvchi nurni qaraymiz, bu yerda
va - shu vektorning koordinata
o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklari. Bu yerda
(10.2-chizma).
-bu nurning boshqa biror nuqtasi bo’lsin. Skalyar maydon funktsiyaning
va
nuqtalardagi qiymatlari ayirmasini bu funksiyaning
l
yo’nalish bo’yicha orttirmasi deb ataymiz. U
holda
.
va
nuqtalar orasidagi masofani
orqali belgilaymiz:
.
limit
funksiyaning
nuqtadagi
l
yo’nalish bo’yicha
hosilasi
deb
ataladi. Yo’nalish bo’yicha hosilagacha xususiy hosilalar bilan quyidagicha ifodalanadi.
10.2-chizma.
,
bu yerda birlik vektor
chiziq bo’yicha yo’nalgan bo’ladi.
nuqtadan
yo’nalish bo’yicha funksiyani hosilasini toping.
“A” guruh
10.121
10.122.
10.123.
Skalyar maydonnig M nuqtasining gradiyentini toping.
10.124.
10.125.
10.126.
10.127.
funksiyani M nuqtadagi gradiyenti va uning modulini toping
.
10.128. 10.129.
z
y
x
f
u
,
,
z
y
x
,
,
u
u
z
y
x
P
,
,
P
k
j
i
e
cos
cos
cos
e
,
1
k
j
i
z
z
y
y
x
x
P
,
,
1
u
P
1
P
z
z
y
y
x
x
f
u
e
,
,
P
1
P
l
1
PP
l
e
u
e
e
0
lim
z
y
x
F
u
,
,
P
cos
cos
cos
z
y
x
e
u
u
u
u
cos
,
cos
,
cos
l
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
1
1
1
1
,
,
z
y
x
M
3
;
1
;
2
,
1
;
1
;
1
,
2
1
0
2
2
M
M
xz
y
x
u
3
;
1
;
4
,
2
;
0
;
3
,
1
0
2
M
M
z
ye
xe
u
x
y
5
;
4
,
1
;
1
,
1
0
M
M
x
y
y
x
u
1
,
1
,
1
ln
2
2
2
M
z
y
x
u
0
,
0
,
0
2
2
2
M
ze
u
z
y
x
2
;
3
,
2
2
M
y
xy
z
1
;
1
,
)
(
M
xy
arctg
z
y
x
f
z
,
2
;
1
7
2
2
M
y
x
z
3
;
0
2
M
y
x
z
z
y
x
i
k
j
e
z
x
y
r
1
P
10.130. 10.131.
10.132.
Do'stlaringiz bilan baham: |
