|
Ostrogradskiy formulasi
. Bu formula fazoda chegaralangan jism (to’plam) bo’yicha olingan uch
karrali integralni shu jismni o’rab turuvchi yopiq sirt bo’yicha olingan sirt integrali bilan bog’lanishini
ifodalaydi.
Aytaylik,
to’plam ushbu
,
sirtlar hamda yasovchilari
o’qiga parallel bo’lgan tsilindrik sirt bilan chegaralangan to’plam bo’lib, bu
tsilindrik sirtning
tekislikdan ajratgan qismi
to’plamni ifodalasin. Bunda
uchun
deylik. Bu holda
jismni o’rab turgan
sirt
tenglama bilan aniqlangan
sirt,
tenglama bilan aniqlangan
sirt va yasovchilari
o’qiga parallel, yo’naltiruvchilari
bo’lgan
tsilindrik sirt
dan iborat bo’ladi.
S
S
dxdy
y
z
y
x
P
dzdx
z
z
y
x
P
dx
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
S
)
,
,
(
z
y
x
Q
)
,
,
(
z
y
x
R
S
S
S
S
dzdx
x
z
y
x
R
dydz
y
z
y
x
R
dz
z
y
x
R
dydz
z
z
y
x
Q
dxdy
x
z
y
x
Q
dy
z
y
x
Q
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
,
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
S
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
dydz
z
z
y
x
Q
y
z
y
x
R
dxdy
y
z
y
x
P
x
z
y
x
Q
S
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
dzdx
x
z
y
x
R
z
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
V
)
,
(
1
y
x
z
z
)
,
(
2
y
x
z
z
OZ
XOY
D
D
y
x
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
y
x
z
y
x
z
V
S
)
,
(
1
y
x
z
z
1
S
)
,
(
2
y
x
z
z
2
S
OZ
D
3
S
Aytaylik,
da
funktsiya aniqlangan bo’lib, u
da uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilaga ega bo’lsin. Bu holda
funktsiyaning
to’plam bo’yicha uch karrali integ-
rali mavjud bo’lib, 87ma’ruzada keltirilgan formulaga ko’ra
bo’ladi. Ravshanki,
Demak,
(11)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikki karrali integrallarni sirt integrallari orqali yozamiz:
,
(12)
.
(13)
(12) da integral
sirtning ustki tomoni bo’yicha, (13) da esa integral
sirtning ostki tomoni
bo’yicha olingan. Ravshanki,
(14)
YUqoridagi (11), (12), (13) va (14) munosabatlardan
V
)
,
,
(
z
y
x
R
V
z
z
y
x
R
)
,
,
(
z
z
y
x
R
)
,
,
(
V
V
D
y
x
z
y
x
z
dxdy
dz
z
z
y
x
R
dxdydz
z
z
y
x
R
)
,
(
)
,
(
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
1
)).
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
R
y
x
z
y
x
R
dz
z
z
y
x
R
.
))
,
(
,
,
(
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
1
2
D
V
D
dxdy
y
x
z
y
x
R
dxdy
y
x
z
y
x
R
dxdydz
z
z
y
x
R
D
S
dxdy
z
y
x
R
dxdy
y
x
z
y
x
R
2
)
,
,
(
))
,
(
,
,
(
2
D
S
dxdy
z
y
x
R
dxdy
y
x
z
y
x
R
1
)
,
,
(
))
,
(
,
,
(
1
2
S
1
S
0
)
,
,
(
3
S
dxdy
z
y
x
R
(15)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi yopiq sirt bo’yicha integral
ning tashqi tomoni bo’yicha olingan.
Xuddi shunga o’xshash fazoda
to’plam (jism), uni o’rab turuvchi
sirt va
da berilgan
,
funktsiyalar uchun tegishli shartlarda
(16)
bo’lishi ko’rsatiladi.
(15) va (16) tengliklarni hadlab qo’shib topamiz:
(17)
(17) formula Ostrogradskiy formulasi deyiladi.
Eslatma.
Biz yuqorida Ostrogradskiy formulasini maxsus to’plam
uchun keltirib chiqardik. Agar
qaraladigan to’plam umumiyroq bo’lib, uni chekli sondagi yuqoridagi
kabi to’plamlarga ajratish mumkin
bo’lsa, bunday to’plam uchun ham Ostrogradskiy formulasi o’rinli bo’ladi.
Sonli qatorning asosiy tushunchalari. Qator
yaqinlashishining zaruriy shartlari. Yaqinlashuvchi
qatorlar va ularning xossalari. Garmonik qatorlar.
SONLI QATORLAR VA ULARNING YAQINLASHUVI
Sonli qatorlar va umumiy tushunchalar.
Sonli qator xossalari.
Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti.
1.1.
Sonli qatorlar va umumiy tushunchalar.
Dastlab sonli qator
tushunchasini kiritamiz.
S
S
V
S
S
dxdy
z
y
x
R
dxdy
z
y
x
R
dxdy
z
y
x
R
dxdy
z
y
x
R
dxdydz
z
z
y
x
R
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
1
2
S
V
S
V
z
y
x
P
,
,
z
y
x
Q
,
,
V
S
V
S
dxdz
z
y
x
Q
dxdydz
y
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
dxdydz
x
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
,
)
,
,
(
)
,
,
(
.
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
S
V
dxdy
z
y
x
R
dzdx
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
dxdydz
z
z
y
x
R
y
z
y
x
Q
x
z
y
x
P
V
V
1-TA’RIF:
Agar
и
1
,
и
2
,
и
3
, …,
и
n
, … chеksiz sonli kеtma – kеtlik berilgan
bo‘lsa, unda
1
3
2
1
k
k
n
u
u
u
u
u
(1)
ifodа
sonli qator
dеyiladi. Bundа
и
1
,
и
2
,
и
3
, …,
и
n
, … –
sonli qator hadlari
,
и
n
esa
uning
umumiy hadi
dеyiladi.
Bunda har qanday natural
n
soni uchun (1) sonli qatorning
u
n
umumiy hadi ma’lum
deb hisoblanadi. Masalan, umumiy hadi
,
3
,
2
,
1
,
2
)
1
(
1
n
n
u
n
n
n
formula bilan ifodalangan sonli qator
4
3
2
2
4
2
3
2
2
2
1
ko‘rinishda bo‘ladi.
2-TA’RIF:
Berilgan (1) sonli qatorning dastlabki
n
ta hadidan tuzilgan
,
3
,
2
,
1
,
1
3
2
1
n
u
u
u
u
u
S
n
k
k
n
n
, (2)
yig‘indi bu qatorning
n – xususiy yig‘indisi
dеb ataladi.
(1) sonli qatorning
n
–xususiy yig‘indilari
S
n
(
n
=1,2,3, ∙∙∙ )
S
1
=
и
1
,
S
2
=
и
1
+
и
2
,
S
3
=
и
1
+
и
2
+
и
3
, ∙ ∙ ∙ ,
S
n
=
и
1
+
и
2
+
и
3
+…
+
и
n
, ∙ ∙ ∙
sonli ketma – ketlikni tashkil etadi va shu sababli uning limitini qarash mumkin.
3-TA’RIF:
Agar
S
n
(
n
=1,2,3, ∙∙∙ ) xususiy yig‘indilar ketma – ketligi chekli
limitga ega va
,
,
lim
S
S
S
n
n
bo‘lsa, unda (1) sonli qator
Do'stlaringiz bilan baham: |
