Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

2.2.
 
Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient.
Endi 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning xususiy hosilalari 
tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya 
M
(
x
,
y
) nuqtaning biror atrofida 
aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi 
l
to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror 
e
={cosα, cosβ} birlik vektor 
orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan 
e
birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata 
o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=90
0
–α) burchaklar bilan aniqlanadi va
yo‘naltiruvchi kosinuslar
deb 
ataladi. Bu 
l 
to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va 
M
(
x
,
y
) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(
x+
∆
x
,
y+
∆
y
) nuqtani 
qaraymiz. Bunda 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning o‘zgarishi 
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
x
f
f
l







ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning 
l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi
deyiladi. Bu yerda 
MN
=
∆
l
belgilash kiritamiz. Bunda 
N
→
M
desak, ya’ni 
∆
x
→
0, 
∆
y
→
0 bo‘lsa, unda 
∆
l
→
0 bo‘ladi. 
2-TA’RIF:
Agar 
∆
l
→
0 bo‘lganda 
∆
l
f /
∆
l 
nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati 
z
=
f
(
x
,
y
) 
funksiyaning 
l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi
 
deb ataladi.
 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning 
l
yo‘nalish bo‘yicha hosilasi
l
z
l
f
z
f
l
l






,
,
,
kabi belgilanadi va , ta’rifga asosan,
l
f
l
f
l
l







0
lim
kabi aniqlanadi. 
∆
l=
∆
x
cosα+ 
∆
y
cosβ tenglikdan foydalanib,


cos
cos
y
f
x
f
l
f








(4) 
formula o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan, 
f
(
x
,
y
)=
x
2
–
y
2
funksiyaning 
M
(
x
,
y
) nuqtadagi α=60
0
yo‘nalish bo‘yicha hosilasi 
3
60
sin
2
60
cos
2
cos
cos
0
0
y
x
y
x
y
f
x
f
l
f














formula bilan hisoblanadi. Xususan, 
M
(1,1) nuqtada bu hosilaning qiymati 
3
1

bo‘ladi. 

---

Agar 
l 
yo‘nalish biror 
a
={
a
1
,
 a
2
} vektor orqali berilgan bo‘lsa, unda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila 
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
a
a
a
y
f
a
a
a
x
f
l
f












formula bilan hisoblanadi.
Masalan, yuqoridagi funksiyaning 
M
(1,1) nuqtadagi 
a
={4,3} vektor bilan aniqlanadigan 
l
yo‘nalishi 
bo‘yicha hosilasining qiymatini topamiz: 
.
5
2
5
6
8
)
1
,
1
(
5
6
8
3
4
3
2
3
4
4
2
2
2
2
2
















l
f
y
x
y
x
l
f
Agar 
l 
sifatida OX (yoki OY) koordinata o‘qining yo‘nalishini olsak , unda
α=0, β=90
0
(yoki α=90
0
, β=0) bo‘ladi va (4) formuladan 
y
f
l
f
x
f
l
f











yoki

natijalarni olamiz. Demak, 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning 
x 
yoki 
y
bo‘yicha xususiy hosilalari uning 
l
yo‘nalish 
bo‘yicha hosilasining xususiy holi bo‘ladi. 
3-TA’RIF:
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning 
gradienti 
deb koordinatalari 
x
f

va 
y
f

xususiy hosilalardan iborat 
vektorga aytiladi. 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning gradienti odatda grad
f
kabi belgilanadi. Gradient ma’nosini aniqlash uchun, 
vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan (III bob, §2) foydalanib, 
l
yo‘nalish bo‘yicha hosilaning (4) ifodasini 
quyidagicha yozib chiqamiz: 


cos
cos









f
f
e
f
e
l
f
grad
grad
grad


. 
Bu yerda φ orqali 
l
yo‘nalishni ifodalovchi 
e
birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak 
ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada 
o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning turli 
l
yo‘nalishlar 
bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga 
erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida 
olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi. 
Masalan,yuqorida ko‘rilgan 
f
(
x
,
y
)=
x
2
–
y
2
funksiyaning 
M
(
x
,
y
) nuqtadagi gradienti grad
f
={2
x
, –2
y
} 
bo‘ladi. Xususan, 
M
(1,1) nuqtada grad
f
={2, –2} va bu nuqtadagi funksiyaning eng katta o‘zgarish tezligi | 
grad
f
|=
2
2
bo‘ladi.
2.3.
 
Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari.
Oldin 
 
z
=
f
(
x,y
) 
funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror 
M
(
x
,
y
) nuqtadagi to‘la orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang):

z=

f
= 
f
(
x
+

x
, 
y
+ 

y
)– 
f
(
x
, 
y
) . 
4-TA’RIF:
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning berilgan 
M
(
x
,
y
) nuqtadagi to‘la orttirmasi 

f=A

x+B

y+
α

x +
β

y
(5) 
ko‘rinishda ifodalanib, unda 
A=A
(
x
,
y
) va 
B=B
(
x
,
y
) argumentlarning 

x 
va 

y 
orttirmalariga bog‘liq 
bo‘lmagan sonlar,
α
 
va
 
β
 
esa 

x
→
0, 

y
→
0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya 
M
(
x
,
y
) 
nuqtada 
differensiallanuvchi
deb ataladi. To‘la orttirmaning 

x 
va 

y 
orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli 
qismi
A

x+B

y 
funksiyaning 
differensiali
deyiladi. 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning differensiali
df
yoki
df
(
x
,
y
) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, (5) tenglikdan
df=A

x+B

y
(6) 
formula orqali topiladi. 
Misol sifatida 
f
(
x
,
y
)=
x
2
+
xy+
3
y
funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. 
Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz: 

f
= [(
 x
+

x
)
2
+
 
(
x
+

x
)(
 y
+ 

y
)+3(
y
+ 

y
)] –[
 x
2
+
xy+
3
y
]= 
=2
x

x+
(

x
)
2
+
 x

y+ y

x+ 

x

y+
3

y
= (2
x+y
)

x+(x
+3)

y+

x

x+

x

y.
Bu tenglikni (5) bilan taqqoslab, 
A=
2
x+y
, 
B=x
+3, α=

x
, β=

x
ekanligini ko‘ramiz. Bunda 4-ta’rifdagi 
barcha shartlar bajarilmoqda va shu sababli bu funksiya tekislikdagi ixtiyoriy 
M
(
x
,
y
) nuqtada 
differensiallanuvchi va uning differensiali , (6) tenglikka asosan, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 
df=
(2
x+y
)

x+(x
+3)

y. 
Ammo funksiyani differensiallanuvchi ekanligini har doim ham uning ta’rifi asosida tekshirish oson 
bo‘lmaydi. Shu sababli bu savolga umumiy holda javob topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi 
teoremada o‘z yechimini topadi. 

---

2-TEOREMA:
Agar
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning 
y
x
f
f


,
xususiy hosilalari 
M
(
x
,
y
) nuqta va uning biror 
atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning 
differensiali 
y
y
f
x
x
f
y
f
x
f
df
y
x














(7) 
formula bilan aniqlanadi. 
Isbot:
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning 
M
(
x
,
y
) nuqtadagi to‘la orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

f
=
f
(
x
+

x
, 
y
+

y
)–
f
(
x
, 
y
)=[
f
(
x
+

x
, 
y
+

y
)–
f
(
x
, 
y
+

y
)]+[
f
(
x
, 
y
+

y
)–
f
(
x
, 
y
)] .(8) 
 
Bu yerda kvadrat qavs ichidagi ayirmalar bir o‘zgaruvchili funksiyaning orttirmalarini ifodalaydi. I qavsdagi 
bir o‘zgaruvchili funksiya 
f
(
x
,
y
+

y
) ko‘rinishda bo‘lib, uning argumenti [
x
,
x
+

x
] kesmada o‘zgaradi. 
Teorema shartiga ko‘ra
f
(
x
,
y
+

y
) funksiya bu kesmada
x
f

hosilaga ega. Unda I qavsdagi orttirmaga 
Lagranj teoremasini (VIII bob, §3) qo‘llash mumkin: 
x
x
x
x
x
x
y
y
x
f
y
y
x
f
y
y
x
x
f

















,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
. (9) 
Xuddi shunday tarzda 
y
y
y
y
y
y
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f











,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
(10) 
tеnglikni 
hosil 
qilamiz. 
Teorema 
shartiga 
ko‘ra 
xususiy 
hosilalar 
uzluksiz 
va 
y
y
x
x
y
x







,
0
,
0
bo‘lgani uchun 
y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
x
f
x
y
y
x
f
y
x
y
x




















)
,
(
)
,
(
lim
,
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi 
tengliklar kelib chiqadi: 
2
1
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
















y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
x
f
x
y
y
x
f
(11) 
Bu yerda γ
1
vа γ
2 

x
→0, 

y
→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la 
orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz: 
y
x
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
f













2
1
)
,
(
)
,
(


. (12) 
Bu yerdan, (12) natijani (5) tenglik bilan taqqoslab, 
z
=
f
(
x,y
) funksiya 
M
(
x
,
y
) nuqtada differensiallanuvchi va 
uning differensiali uchun (7) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Teorema to‘la isbotlandi. 
Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan 
f
(
x
,
y
)=
x
2
+
xy+
3
y
funksiyaning differensialini endi (7) formula 
bo‘yicha topamiz: 
y
x
x
y
x
y
y
xy
x
x
y
xy
x
df
y
x
















)
3
(
)
2
(
)
3
(
)
3
(
2
2
. 
Bu oldin olingan natijani ifodalaydi, ammo unga ancha oson erishildi.
Endi xususiy 
f
(
x
,
y
)=
x
holda funksiya differensialini (7) formula orqali topamiz: 
x
y
x
y
y
f
x
x
f
df
dx

















0
1
. 
Xuddi shunday ravishda 
f
(
x
,
y
)=
y
holda 
dy
=∆
y
ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli funksiya differensiali uchun 
(7) formulani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:
dy
y
f
dx
x
f
df






. (13) 
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning mos ravishda
 x 
va 
y 
bo‘yicha