|
17.3.3 Объединение F-множеств
Объединением множеств А и В из F
(
X
)
называется множество
C=A
B, F-функция которого определяется следующим образом:
max
,
С
A
B
x X
x
x
x
.
(17.5)
Объединение соответствует союзу
или
и компактно записывается как:
С
A
B
x
x
,
где символ
обозначает операцию взятия max (максимума).
Следствие 1. Множество С является наименьшим из множеств,
содержащих одновременно А и В.
Доказательство
. Пусть
F
-множество
D
C
и содержит
A
и
В
, т.е.
D
С
A
B
x
x
и
,
D
A
D
B
x
x
т.е.
D
A
B
С
x
x
.
Следовательно,
D
=
C
.
Пример. Если
2
1
1 , 0; 2
A
x
и
2
1
2 , 1, 3
B
x
, то
2
2
1
1 ; 0
1,5
1
2 ; 1,5
3
С
x
x
x
x
,
т.е. σ(А
В) = σ(А)
σ(В).
175
17.3.4 Пересечение F-множеств
Пересечением множеств А и В из F
(
X
)
называется множество
C=A∩B, F-функция которого определяется следующим образом:
min
,
С
A
B
x X
x
x
x
(17.6)
Пересечение
соответствует
союзу
«и»,
более
компактно
записывается как
С
A
B
x
x
,
где символ
« »
обозначает операцию взятия min (минимума).
Пример. Если
2
1
1 , 0; 2
A
x
и
2
1
2 , 1, 3
B
x
, то
2
2
1
2 ; 1
1, 5
1
1 ; 1,5
2
С
x
x
x
x
,
т.е. σ(А
∩
В) = σ(А)
∩
σ(В).
Следствие 2. Множество С является наибольшим из множеств,
содержащихся одновременно в А и в В.
Доказательство. Пусть
F
-множество
D
C
и принадлежит A и В. Тогда
D
С
A
B
x
x
и
одновременно
,
D
A
D
B
x
x
т.е.
D
A
B
С
x
x
.
Следовательно,
D
=
C
.
17.3.5 Особенности операций пересечения и объединения F-множеств
Известно, что операции объединения и пересечения четких множеств
являются коммутативными, ассоциативными и обладают свойствами
дистрибутивности по отношению друг к другу.
Выявление аналогичных
свойств для
F
-множеств сводится к анализу функций вида
,
max
,
f
-
для объединений,
,
min
,
g
-
для пересечений,
где α = μ
А
(
х
); β= μ
B
(
х
);
А
,
В
F
(
x
).
Графически эти функции на плоскости при некотором фиксированном
β
[0, 1] изображены на рис. 17.5, где сплошной линией показан график
функции
g
, а пунктиром -
f
.
176
Рис. 17.5 - Графики функций
Таким образом,
f
и
g
являются кусочно-линейными и монотонно
возрастающими функциями по каждому из своих аргументов.
Заметим, что если
А
и
В
четкие множества с характеристическими
функциями
I
А
(
х
) и
I
B
(
х
), то
А
В
и
A∩B
можно представить в виде (17.2), что
эквивалентно определению через функции min и max.
Для
F
-множеств это уже не верно, так как
A B
A
B
A
B
,
A B
A
B
A
B
A
B
.
В этом случае следствия 17.1 и 17.2 не выполняются.
Существует несколько способов определения операций объединения и
пересечения. Например, для операции пересечения используют иногда
алгебраическое произведение функций принадлежности
A B
A
B
.
В некоторых случаях
A∩B
можно задавать в виде среднего
геометрического
A B
A
B
и, следовательно:
1
1
1
A B
A
B
.
Добавим, что
A∩B
можно описывать с помощью
F
-функции:
1
1
A B
A
B
A
B
A
B
,
и
А
В
соответственно, в виде
1
1
1
1
1
A B
A
B
A
B
A
B
.
Все отмеченные альтернативные варианты объединения и пересечения
F
-множеств только с определенной степенью точности соответствуют
описанию посредством функций min и max. Поэтому выбор того или иного
177
подхода зависит от конкретной задачи, когда использование операций min и
max приводит к неадекватности модели реальной ситуации.
17.3.6 Разность и дополнение F-множеств
Разностью множеств А и В из F(X) называется множество C=A\B, с
F-функцией вида:
min
,
min 0,
C
A
A B
A
A
B
A
B
x X
x X
x
x
x
x
x
x
x
. (17.7)
Разность
X\A
называется
дополнением
F-множества
A
и
обозначается A'. Из
(17.7)
следует, что
'
1
A
A
x
x
так как
X
=<1,
X
>.
Эта операция удобна, например, для перехода от нечеткого множества
допустимых значений к множеству недопустимых значений.
Замечание. Если для четких множеств А и В из X всегда выполняются
соотношения:
\
A B
B
,
'
A
A
,
'
A
A
X
.
то для
F
-множеств, вообще говоря, это не верно.
Нетрудно проверить, что для
А
и
В
из
F
(
X
), справедливы следующие
соотношения:
1.
\
A A
,
2.
\
A B
A
,
3.
\
\
A
A B
A
B
,
4.
\
A
B
A B
,
5.
\
A
B
A B
,
6.
'
'
'
A
B
A
B
,
7.
'
'
A
B
A
B
,
8.
'
'
A
B
B
A
.
Равенства 6 и 7 называются законами де Моргана и следуют,
соответственно из тождеств:
1 max
,
min 1
,1
A
B
A
B
x X
x X
x
x
x
x
,
1 min
,
max 1
,1
A
B
A
B
x X
x X
x
x
x
x
.
178
17.3.7 Другие отношения F-множеств
Следующие соотношения, которые приводятся без доказательств,
являются следствием довольно очевидных свойств функций
F
-множеств.
Здесь:
(
x
)=0 и
U
(
x
)=1 для всех
x
X
, а также
A
,
B
,
C
,
A
1
,…,
A
n
F
(
x
).
Таблица 17.1 – Соотношения между
F
-множествами
Свойство
Формализованная запись свойства
Идемпотентность
A
A
A
A
A
A
Коммутативность
A
B
B
A
A
B
B
A
Ассоциативность
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Поглощение
A
A
B
A
A
A
B
A
Дистрибутивность
A
B
C
A
B
A
C
A
B
C
A
B
A
C
Инволютивность
' '
A
A
Законы де Моргана
'
'
'
A
B
A
B
'
'
'
A
B
A
B
Граничные условия
A
A
A
A U
U
A U
A
Do'stlaringiz bilan baham: |
