Microsoft Word Formula kitobcha

Aylana tenglamasi

nuqtada, radiusi R ga teng aylana tenglamasi:

 ^{x  a}^{2 }  ^{y  b}^{2  R2 .}

Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi

Fazoda
A(x₁, y₁, z₁),
B(x₂ , y₂ , z₂ )
va С(x₃, y₃ , z₃ )
nuqtalar berilgan bo‘lsin.

1. 
   AB kesma uzunligi
   

AB  .

2. 
   AB kesma o‘rtasining koordinatasi
   

_{x } x₁  x₂  x_{3 , y } y₁  y₂  y_{3 , z } z₁  z₂  z_{3 .}

3. 
   AB kesmani ^λ
   

μ

2 2 2
nisbatda bo‘lish

_{x } μ x₁  λx_{2 , y } μy₁  λy_{2 , z } μz₁  λz_{2 .}

μ  λ μ  λ μ  λ

4. 
   ABC uchburchak medianalari kesishgan koordinatasi:
   

O(x; y; z)
nuqta

_{x } x₁  x₂  x_{3 , y } y₁  y₂  y_{3 , z } z₁  z₂  z_{3 .}

5. 
   ^Markazi ^a;b;c
   

3 3 3
nuqtada bo‘lgan R radiusli sfera tenglamasi:
 ^{x  a}^{2 }  ^{y  b}^{2 }  ^{z  c}^{2  R2 .}

Fazoda vektorlar



Boshi
^A ^{x0; y0; z0} 
va oxiri
^B  ^{x1; y1; z1}
nuqtalarda bo‘lgan vektor АВ
kabi

  

belgilanadi. Vektorlar kichik lotin а, b, с . . .
harflari bilan belgilanadi.



1. 
   Koordinatalari:
   

AB  _x₁  x₀ ; y₁  y₀; z₁  z_{0 }.


2. 
   Moduli (uzunligi):
   

AB  .

Birlik vektorlar

i  (1, 0,0),
j  (0,1,0),
k  (0,0,1) ;
i  1,
j  1, k
 1;

i  j  0,
i  k  0,
k  j  0 ;
a(x; y; z)  xi  y j  zk .

^{→ } x y z ^
e   ; ;  – birlik vektor.
^ x²  y²  z^{2 }
 

Kollinear va komplanar vektorlar

Bir to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan vektorlar, kollinear vektorlar deyiladi. Kollinear vektorlar bir xil yo‘nalgan yoki qarama qarshi yo‘nalgan bo‘ladi.

Bir xil yo‘nalgan vektorlarning uzunliklari teng bo‘lsa, ular teng vektorlar
deyiladi.
Uzunligi nolga teng bo‘lgan vektor, nol vektor deyiladi.
Bir tekislikka parallel bo‘lgan uchta vektor komplanar vektor deyiladi.

^a  ^{x1; y1; z1} ^,
b ^{x2; y2; z2} 

Vektorlar ustida amallar

vektorlar berilgan bo‘lsin.

1) a  b  _x₁  x₂ ; y₁  y₂ ; z₁  z_{2 };

2) λa  _λ x₁;λ y₁;λz_{1 }
( λ  R );

3) a  a  _a_2  a 2 ,  ;

4. Skalyar ko‘paytma

a) a  b  x₁  x₂  y₁  y₂  z₁  z₂ ; b)


a  b 
 b  Cos _a b_;

4. Parallelik sharti:

x_{1 }
x₂
y_{1 }
y₂
z_{1 ;}
z₂

4. Perpendikulyarlik sharti:

a  b  0 ;

4. Vektorlar orasidagi burchak kosinusi:

Cos a b  ^{a  b}  .

 
 b

SIMMETRIYA

O‘qqa nisbatan simmetriya

Hususiy xollarda

1. 
   Berilgan oy o‘qiga nisbatan, ox o‘qiga nisbatan simmetriya shakllar
   

2. 
   y  kx  b
   

va y  kx  b
to‘g‘ri chiziqlar oy o‘qiga nisbatan simmetrik; y  kx  b

va y  kx  b lar ox o‘qiga nisbatan simmetrik;

3. 
   O‘zaro teskari funksiyalar grafiklari y  x
   

bo‘ladi;
to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik

4. 
   Juft funksiyaning grafigi oy o‘qiga nisbatan, toq funksiyaning grafigi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘ladi;
   
5. 
   To‘g‘ri burchakli parallelepipedda 3 ta, kubda esa 9 ta simmetriya tekisligi mavjud.
   

Berilgan shakl

Nuqtaga nisbatan simmetriya

Koordinatalar boshiga nisbatan simmetriya

Tekislikka nisbatan simmetriya

A^B^C^D^ to‘rtburchak va ABCD to‘rtburchak
MNKL tekislikka nisbatan simmetrik. Bunda
MA  MA^; NB  NB^;
KC  KC^; LD  LD^.

Muntazam ko‘pyoqlar haqida ma’lumotlar

	R	r		Cosα		S			V
Tetraedr	a 6 4	a 6 12		1 3		a^2 3				a^2 2 12
Kub	a 3 2	a 2		0		6a^2			a3
Oktaedr	a 2 2	a 6 6			1 3	2a^2 3				a^3 2 3
Dodekaedr	a 3	a	25  11 5		5			a3 15  7 5 4
	5 1	2	10		5	3a^2	25 10 5
Ikosaedr	^a10  2 5 4	a(3  5) 4 3			5 5	5a^2 3			5a^3 (3  5) 12

Bu yerda α ikki yoqli burchak.

Ba’zi yig‘indilar

1) 1  2  3  4  5  6  ...  n  ^{n(n  1)} ;
2


2) 1  3  5  7  9  ...  (2n 1)  n² ;


3) 2  4  6  8 10  ...  2n  n(n  1) ;


4) 1²  2²  3²  ...  n²  ^{n(n  1)(2n  1)} ;
6


_ n(n  1) _²
5) 1³  2³  3³  ...  n³  _{ } ;
 ² 


6) 1³  3³  5³  ...  (2n 1)³  n²(2n² 1) ;

4 4 4 4

n(n 1)(2n 1)(3n²  3n 1)

7) 1  2
 3  ...  n  ;
30

8)

9)

10)

11)
2²  4²  6²  ...  (2n)²  ^{2n(n  1)(2n  1)} ;
3

2⁰  2¹  2²  2³  2⁴  ...  2^n1  2ⁿ 1;

2²  6²  10²  ...  (4n  2)²  ^{4n(2n 1)(2n 1)} ;
3


1²  3²  5²  ...  (2n 1)²  ^{n(n 1)(n  2)} ;
3

12)

13)
1 4  2  7  3 10   n(3n  1)  n(n 1)² ;


1 2  3  2  3  4  3  4  5  ....  n(n  1)(n  2)  ^{n(n  1)(n  2)(n  3)} ;
4

2 2 2 2

n(n² 1)(3n  2)