|
Ədədi bərabərsizliklər və xassələri
Əgər iki a və b həqiqi ədədləri
>, <, ,
işarələrdən biri ilə bir-birinə bağlanarsa, onda ədədi bərabərsizlik
verilmişdir deyilir.
a > b, a < b bərabərsizlikləri ciddi, a b , a b bərabərsizlikləri qeyri ciddi bərabərsizlik adlanır.
Ədədi bərabərsizliklər doğru və yalan ola bilər.
Tutaq ki, a, b, c və d istənilən həqiqi ədədlərdir. Ədədi bərabərsizliklərin aşağıdakı xassələr doğrudur.
a > b b < a , a b b a .
a > b, b > c a > c ,
a > b, b c a > c .
a b, b c a c
a > b a + c > b + c , a b a + c b + c .
Əgər c > 0 olarsa, a > b a c > b c , a b a c b c .
Əgər c < 0 olarsa, a > b a c < b c , a b a c b c .
a < b, c < d a + c < b + d ;
a > b, c > d a + c > b + d ;
a b, c d a + c b + d .
a b, c d a + c b + d .
8. a > b ( b > 0) an > bn ( n N ) ;
a b ( b > 0) an bn ( n N ) .
9. Əgər n cüt ədəd olmazsa, onda istənilən a və b ədədləri üçün a > b an > bn .
Ədədi ifadələr
Tərif. Əməl işarələrinin və mötərizələrin köməyi ilə rəqəmlərlə işarə edilmiş ədədlərdən düzəldilmiş yazılışa
ədədi ifadə deyilir. Məsələn:
5 4 1 + 2 (5 1 34 : 2 3 3 3 : 3) + 2 1 3 4
3 2 4 5
yazılışı ədədi ifadədir.
Tərif. Ədədi ifadədə göstərilən hesab əməllərini uyğun ardıcıllıqla yerinə yetirdikdən sonra alınan ədədə ədədi ifadənin qiyməti deyilir.
Qayda. Hesab əməlləri aşağıdakı ardıcıllıqla yerinə yetirilir: ifadədə yalnız toplama və çıxma əməlləri iştrak edərsə, onda bu əməllər yazıldığı ardıcıllıqla yerinə yetirilir; ifadədə yalnız vurma və bölmə əməli olarsa, onda bu əməllər yazıldığı ardıcıllıqla yerinə yetirilir; ifadədə hesab əməllərinin hamısı və qüvvətə yüksəltmə iştrak edirsə, onda əvvəlcə qüvvətə yüksəltmə, sonra vurma və bölmə əməli yazıldığı ardıcıllıqla, sonra isə toplama və çıxma əməli yazıldığı ardıcıllıqla yerinə yetirilir; ifadədə mötərizələr olarsa, əvvəlcə mötərizələr içərisindəki əməllər uyğun ardıcıllıqla yerinə yetirilir.
Nisbət. Faiz.Tənasüb
Tərif. Bir ədədin digər ədədə bölünməsindən alınan qismətə nisbət deyilir:
).
a : b = q və ya
a = q b
( a, b, q R
İki ədədin nisbəti bölünən ədədin bölənin neçə hissəsini təşkil etdiyini göstərir.
Gündəlik həyatımızda hər birimiz faiz sözönü işlədirik. Faiz riyaziyyatın mühüm anlayışlarından biridir və məktəb riyaziyyatında müstəqil bəhs kimi öyrənilir. Faiz anlayışından hər bir insan praktik fəaliyyətində geniş istifadə edir.
Tərif. Verilmiş ədədin yüzdə bir hissəsinə həmin ədədin bir faizi deyilir və 1% kimi yazılır.
a ədədinin 1%-i
a 1
100
-ə bərabərdir.
Bu tərifdən aydın olur ki, məxrəci 100 olan kəsrlərin surəti faizi göstərir. Yəni
1 = 1 20 = 20
= 20% ;
1 = 1 25 =
25 = 25% .
5 5 20 100
Faizin nisbətlə göstərilməsi:
4 25 4
100
b 0 = b
0 100
; 5%=
5 = 1
100 20
; 60%= 60 = 3 .
100 5
Hissə ilə faiz eyni məna daşıyır. Faizi hissəyə çevirmək üçün faiz göstərən ədədi 100-ə bölmək, hissəni faizə çevirmək üçün hissə göstərən ədədi 100-ə vurmaq lazımdır. .
Tərif. İki nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir: a : b = c : d və ya a = c . a və d tənasübün kənar
b d
hədləri, b və c isə orta hədləri adlanır.
Tənasübün əsas xassəsi. Tənasübdə kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir. Yəni
a : b = c : d
Əgər a, b və c ədədləri arasında
tənasübündə
a d = b c .
a = b
və ya
b 2 = ac
b c
bərabərliyi ödənilərsə, onda b ədədi a və c ədədləri arasında orta mütənasib ədəd adlanır.
Bərabər nisbətin xassəsi.
a1 = a2
= = an
olarsa,
b1
a1 = a2
b2
= ...... = an
bn
i
i
= a1 + a2 + ..... + an ,
b 0,
b 0 .
b1 b2
bn b1
+ b2
+ ..... + bn
Tərif. Ədədin, nisbəti əvvəlcədən verilmiş iki və daha çox bərabər olmayan hissələrə bölünməsinə mütənasib
bölmə deyilir.
Ədəbiyyat
A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, I hissə, Bakı, 2006.
A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, II hissə, Naxçıvan, 2008.
A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, III hissə, Naxçıvan, 2015.
Ə.M.Məmmədov, R.Y. Şükürov, Elementar riyaziyyat, Bakı, 2010.
R.İ. Muradov, Məktəb riyaziyyat kursunun elmi əsasları, Bakı, 2007.
А.Г. Мордкович- Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, Москва, 2009.
В.А. Битнер, Краткий курс школьной математики, Санкт-Петербург,2007.
Е.В. Хорошилова, Элементарная математика, часть 1, 2., Mocква, 2010 .
M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 10-cu sinif, Bakı, 2003.
M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 11-ci sinif, Bakı, 2007.
R.H. Məmmədov və başqaları Riyaziyyat, I, II hissə. Bakı, 1976.
А.Г. Цыпкин Справочник по математике. М., Наука, 1984.
Mühazirə 5
Kompleks ədəd anlayışı. Qoşma kompleks ədədlər. Kompleks ədədin modulu
Kompleks ədədlər üzərində toplama və vurma əməlləri və onların xassələri. Çıxma və bölmə əməlləri
Kompleks ədədlər. Qüvvətə yüksəltmə və kvadrat kökalma
Düzbucaqlı koordinat sistemi.
Polyar koordinat sistemi
Kompleks ədədlər Kompleks ədəd anlayışı
Riyaziyyatın inkişafı zaman-zaman zəruri olaraq ədəd anlayışını genişləndirmişdir. Əşyaları saymaq üçün natural
ədədlər kifayət edirdisə,
x + a = b
şəkilində tənlikləri həll etmək üçün natural ədədlər kifayət etmirdi. Ona görə də mənfi
tam ədədlər və sıfır daxil edilməklə natural ədədlər çoxluğu genişləndirilərək tam ədəd anlayışı verilmişdir. Tam ədədlər çoxluğunda ax + b = 0 şəklindəki bütün tənlikləri həll etmək mümkün olmadığndan kəsr ədəd anlayışı daxil edilmiş və tam
ədədlər çoxluğu genişləndirilərək rasional ədəd anlayışı,
x2 = 5 ,
x2 6 = 0
kimi tənlikləri həll etmək üçün isə irrasional
ədəd anlayışı verilmişdir. Lakin həqiqi ədədlər çoxluğunu əmələ gətirən rasional və irrasional ədədlər
x2 +1 = 0 ,
x2 + x + 1 = 0
kimi sadə tənlikləri həll etməyə kifayət etmirdi. Ona görə də ədəd anlayışı daha da genişləndirilərək
kompleks ədəd anlayışı daxil edildi.
x2 +1 = 0
tənliyini həll etmək üçün i hərfi ilə işarə edilən ,
i2 = 1
bərabərliyini ödəyən və xəyali vahid
adlanan yeni ədəd daxil edildi.
a və b həqiqi ədədlər olduqda
a + bi
şəklindəki ifadələrin bərabərliyi, onlar üzərində toplama və vurma
əməlləri aşağıdakı kimi təyin edilərsə, onda bu cür ifadələr kompleks ədəd adlanır:
a + bi = c + di bərabərliyi yalnız və yalnız
a = c,
b = d olduqda doğrudur;
a + bi və
c + di ifadələrinin cəmi ( a + c) + ( b + d ) i
ifadəsinə bərabərdir: ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c) + ( b + d) i ;
a + bi
və c + di
ifadələrinin hasili
( ac bd) + ( ad + bc) i
ifadəsinə bərabərdir:
( a + bi) ( c + di) = ( ac bd) + ( ad + bc) i .
Toplama və vurma əməlləri ikihədlilərin toplanması və vurul rulması qaydası ilə yerinə yetirilmişdir və i i = i2 = 1 hesab edilmişdir.
Kompleks ədədə verilən bu tərifdən aydındır ki, onların cəmi və hasili də kompleks ədəddir.
Adətən kompleks ədədləri
z, w,
kimi bir hərflə işarə edirlər:
z = a + bi
və s.
z = a + bi yazılışı kompleks ədədin cəbri şəkildə yazılışı adlanır. a -ya kompleks ədədin həqiqi, b -yə ( i xəyali
vahidinin əmsalına) isə xəyali hissəsi deyilir: edilirlər.
Re z = a
və ya
Re(a + bi) = a ,
Im z = b
və ya
Im(a + bi) = b
kimi işarə
Do'stlaringiz bilan baham: |
