Microsoft Word doc

13.4. 
Основы
 
вычислительного
эксперимента
 
в
 
теплофизике
 
Аналитические
методы
оказываются
практически
непри
-
годными
для
нахождения
двух
- 
и
трехмерных
температурных
полей
в
областях
сложной
конфигурации
. 
От
этих
недостатков
свободны
численные
методы
, 
в
которых
дифференциальные
опе
-
раторы
заменяются
алгебраическими
, 
получающиеся
матричные

---

383 
уравнения
решаются
на
компьютерах
с
нахождением
темпера
-
турного
поля
в
узловых
точках
конечно
-
разностной
сетки
. 
Основную
 
идею
 
численных
 
методов
 
рассмотрим
 
на
 
при
-
мере
 
одномерной
 
нестационарной
 
задачи
 
теплопроводности
. 
Она
 
состоит
 
в
 
замене
 
непрерывных
 
производных
 
по
 
времени
 
и
 
координатам
, 
входящих
 
в
 
уравнения
 
теплопроводности
 
и
 
в
 
крае
-
вые
 
условия
, 
их
 
приближенными
 
значениями
 
в
 
отдельных
 
точ
-
ках
 (
узлах
) 
конечно
-
разностной
 
сетки
. 
В
общем
случае
расположение
узлов
сетки
в
исследуемой
области
может
быть
произвольным
. 
На
практике
часто
применя
-
ют
сетку
, 
равномерно
покрывающую
расчетную
область
. 
Такая
сетка
с
постоянными
расстояниями
между
ближайшими
узлами
(
шагами
сетки
) 
называется
регулярной
. 
Фрагмент
такой
сетки
по
-
казан
на
рис
. 13.1, 
а
ее
узлы
определяются
координатами
( )
(
)
τ
1
;
1, 2, 3, ...,
1;
,
1
;
1, 2, 3, ...; ,
i
x
x
x
k
t
x
i
h
i
N
h
H
N
t
k
h
k
h
= −
=
+
=
=
−
=
(13.20) 
где
N – 
число
разбиений
по
толщине
слоя
H
x
; h
x
, h
t 
– 
соответст
-
венно
шаги
пространственной
(
по
x) 
и
временной
(
по
t) 
сеток
; i, 
k – 
номера
узловых
точек
в
направлении
координат
x, t. 
Рис
. 13.1. 
Фрагмент
регулярной
сетки
С
точностью
до
ошибок
аппроксимации
входящая
в
урав
-
нение
теплопроводности
(13.10) 
первая
производная
от
темпе
-

---

384 
ратуры
по
времени
может
быть
найдена
в
i-
й
точке
сетки
, 
а
вто
-
рая
производная
от
температуры
по
координате
на
k-
м
слое
по
времени
по
конечно
-
разностным
формулам
2
1
1
1
2
2
2
,
k
k
i
i
i
t
x
T
T
T
T
T
T
T
t
h
x
h
−
−
+
−
−
+
∂
∂
≈
≈
∂
∂
.
(13.21) 
Аппроксимацию
уравнения
(13.10) 
можно
представить
схематически
, 
рассмотрев
фрагмент
сетки
(
шаблон
) 
с
минималь
-
ным
количеством
узловых
точек
(
рис
. 13.2). 
Существующие
схе
-
мы
аппроксимации
делятся
на
явные
, 
когда
все
производные
по
координате
в
уравнении
переноса
записываются
на
«
старом
»
(k–1)-
м
временном
слое
с
известным
распределением
температу
-
ры
, 
и
неявные
, 
когда
все
производные
по
координате
в
этом
урав
-
нении
записываются
на
«
новом
» k-
м
временном
слое
с
неизвест
-
ным
распределением
температуры
. 
Рис
. 13.2. 
Сеточные
шаблоны
явной
(
а
) 
и
неявной
(
б
) 
схем
аппроксимации
уравнения
теплопроводности
Явная
схема
аппроксимации
уравнения
(13.10) 
дает
соот
-
ношение
,
,
1
1,
1
,
1
1,
1
2
2
i k
i k
i
k
i k
i
k
t
x
T
T
T
T
T
a
h
h
−
+
−
−
−
−
−
−
+
=
,
(13.22) 
из
которого
получается
явная
формула
для
неизвестной
темпе
-
ратуры
(
)
,
,
1
1,
1
1,
1
2
2
2
1
t
t
i k
i k
i
k
i
k
x
x
ah
ah
T
T
T
T
h
h
−
+
−
− −


=
−
+
+




.
(13.23) 

---

385 
Полученная
формула
позволяет
последовательно
опреде
-
лить
температуры
во
всех
узлах
конечно
-
разностной
сетки
, 
одна
-
ко
циклические
вычисления
на
компьютере
оказываются
устой
-
чивыми
при
существенном
ограничении
на
шаг
сетки
по
времени
( )
2
2
t
x
h
h
a
<
, 
что
делает
явную
схему
не
эффективной
. 
Неявная
схема
аппроксимации
уравнения
(13.10) 
дает
со
-
отношение
,
,
1
1,
,
1,
2
2
i k
i k
i
k
i k
i
k
t
x
T
T
T
T
T
a
h
h
−
+
−
−
−
+
=
,
(13.24) 
которое
для
всех
внутренних
узловых
точек
k-
го
слоя
дает
сис
-
тему
линейных
алгебраических
уравнений
(N –1)-
го
порядка
1,
,
1,
,
2, 3, ...,
i
k
i k
i
k
i
A
Т
B
Т
C
Т
f
i
N
−
+
+
+
=
=
,
(13.25) 
где
,
1
2
2
2
;
1
;
t
t
i
i k
x
x
ah
ah
A
C
B
f
T
h
h
−
=
= −
= +
=
. 
Неявная
схема
абсолютно
устойчива
при
любых
шагах
сет
-
ки
, 
однако
ее
компьютерная
реализация
усложняется
из
-
за
необхо
-
димости
решения
систем
уравнений
на
каждом
слое
по
времени
. 
Полученную
систему
линейных
алгебраических
уравнений
(13.25) 
можно
записать
в
векторно
-
матричном
виде
: 
[ ]
{ } { }
H
T
F
⋅
=
(13.26) 
или
2
2
3
3
4
4
1
1
N
N
N
N
T
F
B
C
T
F
A
B
C
T
F
A
B
C
T
F
A
B
C
T
F
A
B
−
−

 




 




 




 


 
 

⋅
=

 
 


 
 


 
 


 
 


 
 


 
 

#
#
"
(13.27) 

---

386 
где
[ ]
H  − 
матрица
коэффициентов
; 
{ }
T  − 
вектор
-
столбец
неиз
-
вестных
температур
в
узловых
точках
; 
{ }
F  − 
неизвестный
век
-
тор
-
столбец
, 
характеризующий
краевые
условия
и
распределе
-
ние
температуры
на
предыдущем
временном
слое
. 
Видно
, 
что
матрица
[ ]
H  
обладает
рядом
специальных
свойств
, 
которые
необходимо
использовать
при
решении
системы
. 
Она
имеет
вы
-
сокий
порядок
, 
зависящий
от
густоты
сетки
, 
является
редко
за
-
полненной
с
размещением
ненулевых
элементов
по
диагонали
в
три
ряда
. 
Такие
матрицы
называются
ленточными
трехдиаго
-
нальными
. 
Важным
свойством
является
симметрия
матрицы
от
-
носительно
ее
диагонали
. 
Рассмотрим
решение
системы
уравнений
(13.25) 
методом
прогонки
, 
являющимся
модификацией
метода
исключения
Гаусса
и
учитывающим
свойства
матрицы
H. 
Решение
системы
в
узловой
точке
ищется
в
виде
линейной
функции
. 
В
частности
, 
для
(
i−1)-
й
точки
эта
функция
имеет
вид
1
β
i
i i
i
T
T
z
−
=
+
,
(13.28) 
где
β
,
i
i
z  − 
неизвестные
пока
вспомогательные
коэффициенты
. 
Подставим
(13.28) 
в
(13.25): 
1
(
β
)
i i
i
i
i
i
A
T
z
BT
CT
F
+
+
+
+
=
,
(13.29) 
откуда
находим
1
β
β
i
i
i
i
i
i
Az
F
C
T
T
A
B
A
B
+
−
= −
−
+
+
.
(13.30) 
Полученное
соотношение
имеет
ту
же
форму
, 
что
и
функция
(13.28), 
только
для
i-
й
точки
1
1
1
β
i
i
i
i
T
T
z
+
+
+
=
+
,
(13.31) 
откуда
заключаем
, 
что

---

387 
1
1
β
;
.
β
β
i
i
i
i
i
i
Az
F
C
z
A
B
A
B
+
+
−
= −
= −
+
+
(13.32) 
Полученные
коэффициенты
называются
прогоночными
ко
-
эффициентами
, 
а
формулы
(13.31–13.32) 
дают
процедуру
решения
. 
Сначала
при
i = 2, 3,..., N 
считаются
прогоночные
коэффи
-
циенты
(13.32), 
при
этом
начальные
значения
прогоночных
ко
-
эффициентов
2
2
β
, z  
определяются
из
граничных
условий
на
ле
-
вой
границе
. 
Эта
операция
называется
прямой
прогонкой
. 
После
определения
всех
β
,
i
i
z  
в
обратном
направлении
(i = N, N−1,..., 2) 
с
учетом
значения
температуры
1
N
T
+
, 
найденного
из
граничного
условия
на
правой
границе
, 
по
формуле
(13.31) 
последовательно
находятся
неизвестные
значения
i
T  
в
узловых
точках
сетки
. 
Рассмотрим
реализацию
метода
прогонки
для
задачи
о
стационарном
распределении
температуры
в
плоском
слое
с
известным
решением
(13.18). 
В
качестве
теста
для
проверки
алгоритма
рассмотрим
пример
при
граничных
условиях
перво
-
го
рода
: T(x = 0) = T
л
, T(x = 
δ
) = T
п
. 
Решение
задачи
методом
сеток
дает
систему
уравнений
с
граничными
условиями
1
1
1
л
1
п
2
0,
2, 3, ..., ,
,
.
i
i
i
N
T
T
T
i
N
T
T
T
T
−
+
+
−
+
=


=


=
=

(13.33) 
Алгоритм
решения
этой
системы
имеет
следующий
вид
: 
2
2
л
1
1
1
п
1
1
1
β
0,
,
β
,
,
β
β
2, 3, ...,
,
,
β
,
,
1, .., 1.
i
i
i
i
i
i
N
i
i
i
i
z
T
Az
F
С
z
A
B
A
B
i
N
T
T
T
T
z
i
N N
+
+
+
+
+
+
=
=


−

= −
= −

+
+


=
=

=
+
=
−

(13.34)

---

388 
В
частности
, 
для
числа
разбиений
N = 4 
при
граничных
условиях
Т
л
= 100, 
Т
п
= 200 
запишем
эту
систему
в
векторно
-
матричной
форме
: 
2
3
4
2
1
0
100
1
2
1
0
,
0
1
2
200
T
T
T
−
−

   

  



−
⋅
=
  



  



−
−

   

алгоритм
прогонки
(13.34) 
реализуется
для
этой
системы
при
А
= 
С
= 1, B = 
−
2 
следующим
образом
: 
2
β
0
=
; 
2
л
100
z
T
=
=
; 
3
2
1
1
β
β
1 0
2
2
c
a
b
= −
= −
=
+
⋅ −
; 
2
2
3
2
1 100 0
50
β
1 0
2
az
f
z
a
b
−
⋅
−
= −
= −
=
+
⋅ −
; 
4
3
1
2
β
β
1 1 2
2
3
c
a
b
= −
= −
=
+
⋅
−
; 
3
3
4
3
1 50 0
100
β
3 2
3
az
f
z
a
b
−
⋅ −
= −
= −
=
+
−
; 
5
4
1
3
β
β
1 2 3 2
4
c
a
b
= −
= −
=
+
⋅
−
;
4
4
5
4
1 100 3 0
25
β
1 2 3 2
az
f
z
a
b
−
⋅
−
= −
= −
=
+
⋅
−
; 
5
п
200
T
T
= =
; 
4
5 5
5
3
β
200
25 175
4
T
T
z
=
+ = ⋅
+
=
; 
3
4 4
4
2
100
β
175
150
3
3
T
T
z
=
+ = ⋅
+
=
; 
2
3 3
3
1
β
150
50 125
2
T
T
z
=
+ = ⋅
+
=
; 
1
л
100
T
T
= =
. 

---

389 
Таким
образом
, 
численным
решением
получили
искомое
линейное
распределение
температуры
, 
что
подтверждает
пра
-
вильность
работы
алгоритма
прогонки
. 
Мы
рассмотрели
наиболее
простые
схемы
аппроксимации
уравнения
теплопроводности
. 
Существуют
и
другие
более
слож
-
ные
схемы
, 
позволяющие
уменьшить
ошибки
 
аппроксимации
, 
вызванные
заменой
производных
в
уравнении
теплопроводно
-
сти
приближенными
значениями
. 
Ошибки
аппроксимации
мож
-
но
оценить
, 
находя
решение
на
последовательности
сгущаю
-
щихся
сеток
. 
При
выполнении
арифметических
операций
на
компьютере
числа
представляются
в
экспоненциальной
форме
с
ограничен
-
ным
числом
разрядов
и
возникают
ошибки
 
округления
. 
Ошибки
округления
можно
уменьшить
, 
изменяя
метод
решения
матрич
-
ных
уравнений
, 
последовательность
арифметических
операций
и
увеличивая
число
разрядов
для
записи
чисел
в
компьютере
(
на
-
пример
, 
применяя
двойную
точность
). 
Ошибки
аппроксимации
, 
округления
и
другие
образуют
спектр
, 
оценка
которого
для
реальных
задач
является
далеко
не
простой
. 
Проблема
 
аппроксимации
– 
одна
из
основных
в
вычис
-
лительном
эксперименте
. 
В
процессе
решения
на
компьютере
спектр
ошибок
проявля
-
ется
в
виде
возмущений
. 
Кроме
того
, 
возмущения
вносятся
крае
-
выми
условиями
. 
Суммарные
возмущения
в
процессе
вычисли
-
тельного
эксперимента
могут
затухать
или
возрастать
. 
В
первом
случае
говорят
об
устойчивом
численном
алгоритме
. 
Во
втором
случае
появляются
осцилляции
нарастающей
амплитуды
, 
суммар
-
ные
возмущения
увеличиваются
до
больших
значений
, 
и
числен
-
ное
решение
теряет
всякий
смысл
. 
Возникает
проблема
 
устойчиво
-
сти
численного
алгоритма
. 
И
, 
наконец
, 
существует
проблема
 
эффективности
, 
связан
-
ная
с
разработкой
таких
алгоритмов
и
программ
, 
которые
обеспе
-
чивают
решение
задачи
с
минимальными
ошибками
аппроксима
-
ции
за
наименьшее
время
. 

---

390