Microsoft Word 4-китоб ёшлар конф 2017 май

 
Математическое моделирование управления движением объекта с 
двигателем 
(Ст.гр. 207-БИК Усманов Дониёр, доцент ДЖаббаров Мамасоли, СамГАСИ)
 
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого объекта с двигателем, 
например, автомобиля. Объект имеет массу 
m
, а двигатель обеспечивает 
воздействие на него силы 
F
, не превышающей по модулю некоторого 
значения 
,

т.е. 
F


. Если приложенная сила разгоняет объект, то ее 
значение принимается положительным, если тормозит ее движение, то 
отрицательным. Пусть в момент 
0
t

начальные путь и скорость нулевые, т.е. 
объект находится в покое: 
(0) 0, v(0) 0,
s


где 
( ), v( )
s t
t

соответственно, 

---

“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар 
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари. 
224 
пройденный путь и скорость в произвольный момент 
t
. Требуется найти 
оптимальный режим управления, чтобы объект прошел заданный путь 
L
в 
минимальное время и остановился. В соответствии с вторым законом Ньютона 
запишем дифференциальные уравнения движения объекта 
v
,
v.
m
F s




(1) 
Дополнительные условия для рассматриваемого процесса следующие: 
;
F


(2)
(0) 0, v(0) 0;
s


(3) 
( ) 0, v( ) 0;
s T
T


(4) 
min
T

. 
(5) 
Условие (5) отражает достижение конечной цели (4) за минимальное 
время. Уравнения (1) и дополнительные условия (2)-(5) являются математичес-
кой моделью рассматриваемого управляемого объекта. Уравнения (1) – 
уравнения процесса, сила 
F

параметр управления. Задача (1) – (5) решается с 
помощью принципа максимума Понтрягина в теории оптимального управления 
[1]. В соответствии с ним составим функцию Гамильтона:
1
2
(t, , , )
v
,
F
H
x u
m





(6) 
где 
(v, )
x
s


вектор состояния,
u
F

- параметр управления, 
1
2
(
,
)

 


неизвестная вектор-функция. Максимизация функции (6) по управлению 
дает 
1
1
1
1
,
0,
(
)
arg max
( ,
, , )
,
0,
[
, ],
0.
F
если
F
H t
x u
если
F
если







 










  


(7) 
Составим систему уравнений принципа максимума: 
1
v
(
),
v;
m
F
s





(8) 
1
2
2
,
0
v
H
H
s





 
 
 





(9) 
Второе уравнение (9) дает 
2
1
.
С


Интегрируя первое уравнение (9) 
получаем 
1
1
2
( )
,
t
С t
C

 

(10) 
где
1
2
,
C C

произвольные постоянные.
На рис. 1 показаны различные возможные виды функции 
1
(t)

в 
зависимости от значений постоянных 
1
2
,
.
С С
Из восьми видов функции
1
(t)

практический интерес представляет только пятый. Ему отвечает вначале разгон 
объекта под воздействием силы 
F


до некоторого момента 
,
t


а затем 
торможение до момента 
t
T

при значении силы
F

 
. В соответствии с 

---