Metrologiya va elektr

8.1-masala.  Tajribada  absolyut  haroratning  o’zgarishiga  ko’ra  solishtirma 
qarshiliklarning o’lchanganlari quyidagi natijalarni bergan: 
8.1-jadval 
T 
K 
1178 
1286 
1489 
1830 
1988 
2133 
2289 
ρ 
10
-8
 
28.34 
32.09 
37.72 
47.92 
52.70 
57.32 
61.97 
 
Bog’lanish chiziqli bo’lsa  
     
 
     
 
  
koeffitsiyentlar 
 
 
va 
 
 
     aniqlansin. 
Yechish: Ko’rilayotgan holda (7.1) sistema quyidagi ko’rinishda bo’ladi 
∑
[ 
 
   
 
   
 
 
 
 
   
 
 ] (
  
  
 
)
 
   
∑
[ 
 
   
 
   
 
 
 
 
   
 
 ] (
  
  
 
)
 
   
}   
 
 
 (8.2) 
Bunda quyidagini etiborga olamiz:  
(
  
  
 
)
 
   
 
   (
  
  
 
)
 
                                              (8.3) 
binobarin, 
∑
 
  
 
  
 
 
   
∑
 
 
 
 
   
   
 
∑
 
 
 
   
                           (8.4) 
∑
 
 
   
 
∑
 
 
 
   
 
   
    
 
     
(8.2) sistemaning yechimi 
 
  
  ∑
 
   
 
   
(∑
 
 
  ∑
 
 
 
   
 
   
)
  ∑
 
 
 
 
   
  ∑
 
   
 
   
 
 
  
 
 
 
∑
 
 
  
 
 
   
∑
 
 
 
   
 
                                             (8.5) 
Koeffitsiyent 
 
  
ni hisoblash darajasini soddalashtirish uchun o’zgaruvchan T va 
 
 
 
ga o’tish lozim 
 
 
   
 
 
 
 
 
∑
 
 
 
   
   
 
 
   
    
                         (8.6) 
O’zgartirishlardan so’ng hisoblash uchun sodda ifoda kelib chiqadi: 

---

120 
 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
   
∑
( 
 
 
)
 
 
   
                                              (8.7) 
Endi  koeffitsiyentlar 
 
   
va 
   
 
  larni  hisoblashga  o’tish  mumkin.  O’rtacha  harorat 
teng: 
 
    
 
 
 
∑
 
 
 
   
           
Oraliq hisoblashlar natijalari quyidagi jadvalda keltirilgan: 
8.2-jadval 
 
 
 
-564 
-456 
-253 
88 
246 
390 
547 
 
 
  
-16322 
-14633 
-9543 
4217 
12964 
22355 
33898 
  
 
 
 
 
318096 
207936 
64009 
7744 
60516 
152100 
299209 
 
∑
 
 
 
 
 
       
 
   
;       ∑
( 
 
)
 
 
   
         . 
Izlanayotgan koeffitsiyentlar quyidagiga teng  
 
 
             
  
         
 
 
            
  
         
ya’ni  
               
  
             
  
 
 
§8.2. Soddalashtirilgan kichik kvadratlar usuli 
Agar  tajribadan  noma’lum  kattaliklar 
 
 
       
 
 ni  qandaydir  funksiyalari   
 
 
ma’lum bo’lsa 
 
 
  
 
   
 
       
 
                                                 (8.8) 
bu  kattaliklarni  aniqlash  uchun  shartli  tenglamalar  sistemasini  yechish  kerak 
bo’ladi.
95
 
 
 
  
 
   
 
       
 
     
 
                                           (8.9) 
Bu  sistema  m>n  shart  bajarilgan  holda  birgalikda  bo’lmagan  sistemadir  va 
noma’lum  kattaliklar  uchun  eng  ehtimolli  qiymatlar  topilishi  kerak.  Agar 
kattaliklar 
 
 
   
 
       
 
  normal  taqsimlanish  qonuniga  ega  bo’lsa,  bu  holda 
noma’lum  katta  ehtimolga  ega  bo’lgan  qiymatlar  sistemasi  uchun 
 
 
   
 
   
 
 
                                                      
95
 S. Boyd and L. Vandenberghe. Vectors, Matrices, and Least Squares. University Press / 2016. 300-304 p.
 

---

121 
 
og’ish  kvadratlarining  yig’indisi  kichik  bo’ladi,  Agar  shartli  tenglamalar  chiziqli 
bo’lsa: 
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
                             
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
}                        (8.10) 
Og’ish  kvadratlarining  yig’indisi  minimum  bo’lish  sharti  chiziqli 
normallashtirilgan sistemaga keladi 
[  ] 
 
  [  ] 
 
      [  ] 
 
  [  ] 
[  ] 
 
  [  ] 
 
      [  ] 
 
  [  ] 
                                 
[  ] 
 
  [  ] 
 
      [  ] 
 
  [  ]
}                         (8.11) 
Tenglamalarda  ∑
 
 
 
 
  o’rniga  [
  ]  Gauss  belgilari  yozilgan.  Nochiziq 
bog’lanishlar  bo’lgan  holatda  aniqlanadigan 
 
 
       
 
  lar  uchun  dag’al  (grubo) 
yaqinlashgan  qiymatlar 
 
 
 
   
 
 
       
 
 
  topiladi  va 
 
 
  
 
   
 
       
 
   lar   
 
   
 
 
 
 
 
       
 
   
 
   
 
 
  darajalar  bo’yicha  qatorga  yoyiladi.  Bu  qatorlarda  birinchi 
darajali  hadlardan  tashqari  barcha  hadlar  tashlab  yuboriladi  va  natijada  shartli 
chiziqli tenglamalar yordamida ehtimolligi katta bo’lgan tuzatmalar aniqlanadi. 
Bayon etilgan usul barcha qiymatlar bir aniqlikka ega bo’lganda o’rinlidir.
96
 
8.2-masala.  Mis  simning  elektr  qarshiligi  R  turli  haroratda 
  
 
             
jadvalning ikkita ustunida keltirilgan bo’lsin. 
8.3-jadval 
t 
R 
t
2 
t∙R 
R
hisob 
19,1 
76,30 
364,8 
1457,3 
76,44 
25,0 
77,80 
625,0 
1945,0 
78,1 
30,1 
79,75 
906,0 
2400,5 
79,5 
36,0 
80,80 
1296,0 
2908,8 
81,1 
40,0 
82,15 
1600,0 
3286 
82,23 
45,1 
83,9 
2034,0 
3783,9 
83,64 
50,0 
85,1 
2500,0 
4255,0 
85,0 
∑       
566,0 
9325,8 
20036,5 
 
 
                                                      
96
 Metrology. Measurement/ Anand K Bewoor - New Delhi: India, 2009. (1-adabiyot, 91-bet) 

---

122 
 
Agar 
  qiymati   bo’yicha            ko’rinishida bo’lsa,   va   o’zgarmas 
koeffitsiyentlarni aniqlash uchun o’tkazilgan 7-ta tajriba natijalari bo’yicha yettita 
shartli tenglamalardan foydalanamiz: 
 
 
        
 
  
bunda 
 
 
  va 
  
 
   mos  ravishda  har  bir  o’lchashda     va     uchun  olingan 
natijalardir.  
Normal tenglamalar quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 
     [ ]    [ ]
[ ]    [ 
 
]    [  ] 
} 
yoki jadvalning oxirgi satriga ko’ra 
                   
                          }
 
Oxirgi  tenglamalar  sistemasidan  quyidagilarni  topamiz 
           va 
         .  Izlanayotgan                       formuladan  aniqlangan  qiymatlar 
jadvalning oxiridagi ustunda keltirilgan. 
8.3-masala.  Elektrovozlarning  tortuvchi  dvigatellarining  kuchlanishga 
ulanganda uning magnit o’zaklarida o’lchangan uyurmaviy toklarni vaqt bo’yicha 
o’zgarishi 
    ,
 
8.1-rasmda  keltirilgan.  Shu  rasmda  tasvirlanganlar  bo‘yicha 
berilgan 
   va     orasidagi  qiymatlar  bog’lanishi  8.5-jadvaldagi  birinchi  ikkita 
ustunda  keltirilgan.  Rasmdagi  grafik  bog’lanishni  empirik  formulasini  topish 
kerak.
  
Ko’p  hollarda  tajribalar  natijasida  olingan  bir-biriga  bog’langan  ikkita 
kattaliklar  orasidagi  jadval  yoki  grafik  ko’rinishida  funksiyani  empirik,  ya’ni 
bog’lanishni  ifodalaydigan  analitik  ifodani  topish  kerak  bo’ladi.  Bunday  masala 
funksiyasi  formula  bilan  berilgan,  ammo  bu  formula  murakkab  yoki  qo’yilgan 
maqsadga 
yetishish 
uchun 
integrallashda 
elementar 
funksiyalar 
orqali 
ifodalanmaydigan  hollarda  qo’llaniladi.  Empirik  funksiyalarni  tanlash  jarayoni 
ikkita  bosqichga  bo’linadi:  avval  formula  ko’rinishi  tanlanadi  keyin  berilgan 
funksiyaning eng yaxshi ifodalaydigan parametrlari aniqlanadi. Ko’zdan kechirish 
bilan tanlangan grafiklar formulasidagi parametrlarini aniqlash uchun avval undan 
foydalanish  mumkinligini  tekislash  usuli  yordamida  tekshiriladi.  Tekislash  usuli 

---

123 
 
quyidagidan iborat: 
  va   oralig’ida ma’lum bir bog’lanish mavjudligini e’tiborga 
olib,  kattaliklar  orasidagi  qandaydir 
             va               topiladi.  Ular 
orsida  chiziqli  bog’lanish,  misol  uchun 
   
 
    
  bo’lsa,  u  holda 
     ,     
 
 
 
yoki 
   
 
 
, 
   
 
 
.  Berilgan 
   va     qiymatlari  uchun  mos  bo’lgan     va    
aniqlanadi,  ular  orasidagi  grafik  chiziqli  bo’lsa  (mos  bo’lgan  nuqtalar  mo’ljalda 
tog’ri chiziqda yotsa), u holda tanlab olingan formula o’rinli bo’ladi. 
Mazkur grafik uchun matematik ma’lumotlar ma’lumotnomalardan olinadi: 
   
 
  
 
        
 
yoki 
      
 
 
  
 
formulalar tog’ri kelishi mumkin. (1)-formula uchun 
  
 
 va 
  tekislanishi kerak 
edi, lekin 
  va 
  
 
 orasidagi hisoblashlar va grafik nochiziqdir. Shu sababli birinchi 
formula to’g’ri kelmaydi. Ikkinchi formulani to’g’ri kelishini ko’rib chiqish uchun 
     va                hamda  
 
     va            grafiklarini quramiz. 8.2-rasm 
va  8.3-rasm.  Ikki  holda  ham  grafiklar  to’g’ri  chiziqlar  bilan  tasvirlanadi  va 
binobarin approksimatsion ifodani quyidagicha olishimiz mumkin 
      
 
 
  
. 
       
      
 
             8.1-rasm.                              8.2.-rasm.                          8.3-rasm 
         konstantalarni  aniqlash  uchun     va   
 
      orasidagi  chiziqli 
bog’lanishni o’rta usul bilan izlaymiz. Shartli tenglamalarni  
 
 
                             
ko’rinishida qo’shib har biri uchta tenglamadan iborat sistemani hosil qilamiz: 

---

124 
 
                             
                             }
 
Sistemani  yechib  quyidagi  natijaga  erishamiz: 
           va            . 
Appoksimatsiyalanuvchi funksiyada 
  ni topish uchun barcha                      
ko’rinishidagi tenglamalarni qo’shganimizdagi ifodadan quyidagi tenglamani hosil 
qilamiz: 
                               
bundan: 
            
         
           
     
   
       
  asosida  hisoblangan  natijalar quyidagi  jadvalning  oxirgi 
ustunida keltirilgan.
97
 
8.4-jadval 
  
  
 
 
 
  
 
 
    
    
     
     
 
 
       
     
 
0.1 
1.78 
0.056 
0.007 
-1.0 
0.250 
0.301 
0.252 
0.252 
1.78 
0.2 
3.18 
0.063 
0.031 
-0.699 
0.502 
0.176 
0.002 
-0.097 
3.15 
0.3 
3.19 
0.094 
0.063 
-0.523 
0.504 
0.125 
-0.099 
-0.447 
3.16 
0.4 
2.54 
0.157 
0.125 
-0.398 
0.405 
0.097 
-0.157 
-0.803 
2.52 
0.5 
1.77 
0.282 
0.244 
-0.301 
0.248 
0.079 
-0.191 
-1.134 
1.76 
0.6 
1.14 
0.526 
0.488 
-0.222 
0.057 
0.067 
-0.218 
-1.455 
1.14 
0.7 
0.69 
1.014 
0.986 
-0.155 
-0.161 
0.058 
-0.237 
- 
0.7 
0.8 
0.40 
2.000 
1.913 
-0.097 
-0.398 
0.051 
-0.240 
- 
0.41 
0.9 
0.23 
3.913 
3.78 
-0.0046 
-0.638 
0.046 
-0.248 
- 
0.23 
0.1 
0.13 
7.69 
6.02 
0.000 
-0.886 
0.041 
-0.269 
- 
0.13 
1.1 
0.07 
15.71 
14.29 
0.041 
-1.155 
0.038 
-0.243 
- 
0.07 
1.2 
0.04 
39.0 
- 
0.079 
-1.398 
- 
- 
- 
0.04 
 
8.4-masala.  O’lchash  asbobining  masshtab  o’zgartkichi  integral  operatsion 
kuchaytirgich asosida qurilgan. Uning kuchlanish bo’yicha aks bog’lanishi parallel 
va  manfiy  (8.4-rasm).  Manfiy  aks  bog’lanishini  tashkil  qiladigan  rezistorlarning 
matematik kutilishi va o’rtacha kvadratik og’ishi mos ravishda quyidagicha: 
 
 
              
 
            
 
         
 
       .   
Operatsion  ko’paytirgichni  ideal,  ya’ni  ko’paytirish  koeffitsiyenti  cheksiz 
katta,  kirish  qarshiligi  cheksiz  kichik  va  chiqish  qarshiligi  cheksiz  katta  deb, 
                                                      
97
 Metrology. Measurement/ Anand K Bewoor - New Delhi: India, 2009. (1-adabiyot, 95-bet) 

---

125 
 
o’lchash kuchaytirgichning kuchaytirish koeffitsiyentining matematik kutilishi 
 
 
 
va o’rtacha kvadratik og’ishini 
 
 
 aniqlang. 
 
8.4 - rasm 
Yechish.  Ko’rilayotgan  misolda  o’lchash  kuchaytirgichining  kuchlanish 
bo’yicha  kuchaytirish  koeffitsiyenti 
     
 
 
 
⁄   ga  teng  deb  olish  mumkin. 
Kuchaytirishning matematik kutilishini quyidagicha hisoblash mumkin:  
 
 
   
 
 
 
⁄
      
⁄       
O’rtacha kvadratik og’ishi  
 
 
  √(
  
  
 
)
 
 
 
 
 
  (
  
  
 
)
 
 
 
 
 
   
 
√(
 
 
 
 
)
 
  (
 
 
 
 
)
 
    √(
 
    
)
 
  (
  
     
)