Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- Теорема о двух наборах векторов
- Линейные векторные пространства Определение
- Определение
- Линейные подпространства Определение
- Задание L в виде однородной системы линейных уравнений
|
Утверждение. Из определения ранга набора векторов и теоремы об одинаковом количестве векторов в любой базе набора следует, что на- бор
сим.
Лемма. Если векторы 1 2 , , , m a a a
линейно независимы, а вектор b – их линейная комбинация, то коэффициенты линейной комбина- ции определены единственным образом. Доказательство. Предположим, что вектор b может быть представ- лен в виде линейной комбинации векторов 1 2
m a a a
двумя спосо- бами:
1 1 2 2 3 3
m m a a a a b + + + +
=
(1) и 1 1
2 2 3 3
m m a a a a b + + + +
=
(2) Вычтем из уравнения (1) уравнение (2) и получим 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m m m a a a a − + − + − + + − = . 31 База и ранг набора векторов Так как векторы 1 2 , , , m a a a
по условию линейно независимы, то по определению линейной независимости векторов коэффициенты линейной комбинации должны равняться нулю: 1 1
2 3 3 0 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , ,(
) m m − = − = − = − = . Следовательно: 1 1
2 3 3 , , , , m m = = = = . Очевидно, что коэффициенты определены единственным образом, что и требова- лось доказать.
1 2
. , , k a a a
линейно выражаются через векторы набора 1 2 . , ,
r b b b
и содержит боль- шее число векторов ( ) k r , то векторы набора 1 2 . , ,
k a a a
линейно за- висимы. Из условия теоремы следует, что каждый из векторов набора 1 2 . , ,
k a a a
можно представить в виде линейной комбинации векто- ров 1 2
. , , r b b b
. 1 1 2 11 21 1 2 1 2 12 22 2 1 2 1 2 ............................................ r r r r k r k k rk a b b b a b b b a b b b ⎧⎪ =
+ + +
⎪⎪⎪ ⎪ =
+ + +
⎪⎨ ⎪⎪⎪
⎪⎪ = + + + ⎪⎩
Умножим каждое уравнение системы соответственно на 1 2
, , , , k
и сложим эти уравнения. Полученное выражение при- равняем нулю: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 11 1 21
1 1 2 12 2 1 2 2 22 2 2 1 2 1 2 1 11
2 12 1 1 21 2 22 2 1 1 2 2 0 ( ) k r k r r r r k k k k k rk k k k k r r r k rk a a a b b b b b b b b b b b b
+ + + = + + + + + + + + + +
+ + +
= = + + + + + + + + + + + + +
=
Предположим, что в полученном выражении коэффициенты при векторах 1 2
. , , r b b b
равны нулю. Получим однородную систему линей- ных уравнений относительно неизвестных 1 2 3 , , , ,
k
. 1 11 2 12
1 1 21
2 22 2 1 1 2 2 0 0 0 k k k k r r k rk
⎧ + + + = ⎪⎪⎪
⎪ + + + = ⎪⎪⎨
⎪⎪⎪ ⎪ + + + = ⎪⎪⎩
Так как по условию k r , количество неизвестных больше числа уравнений, система имеет множество решений, а, следовательно, суще- ствуют ненулевые решения (т.е. существуют 1 2
, , , , k
не все равные 32 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства нулю). Следовательно, линейная комбинация 1 2 1 2
k a a a + + + равна нулю при некоторых коэффициентах не равных нулю, что по определению означает, что векторы 1 2
. , , k a a a
линейно зависимы, что и требовалось доказать. Определение'>Линейные векторные пространства Определение. Совокупность n всех n-мерных векторов, для ко- торых определены операции сложения векторов и умножения век- тора на число, называется линейным n-мерным векторным простран- ством.
Определение. Набор n-мерных линейно независимых векторов на- зывается базисом пространства Е n , если каждый вектор этого простран- ства является линейной комбинацией векторов данного набора. Все базисы векторного пространства состоят из одного и того же числа векторов.
странства называется базис, составленный из единичных векторов: 1 2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0
1 ( , , , , ); ( , , , , ); ( , , , , ); ; ( , , , , ).
= = = = … … … … Определение. Размерностью пространства называется количество векторов в любом базисе пространства. Связь между базисами пространства. Пусть даны два базиса n-мерного векторного пространства: 1 2
. , , n a a a
и 1 2 . , ,
n b b b
. Как любой вектор пространства вектора вто- рого базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов первого базиса (разложить вектор по базису). Тогда 1 1 2
, , , ,
n j ij j i b a j n = = = ∑ … . В матричной записи связь между базами запишется в виде (векторы записываем в виде векторов столбцов): 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2
1 2
( , , , ,) ( . , , ) ( . , , )
→ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠
…
T → – матрица перехода от базиса из векторов 1 2 . , ,
n a a a
к базису из векторов 1 2
. , , n b b b
.Заметим, что ( ) 1 a b b a T T − → → =
33 Линейные подпространства Преобразование координат вектора Пусть некоторый вектор пространства задан своими координа- тами в базисе из векторов ( ) 1 2 . , ,
n a a a
. Обозначим его – а с . В базисе из векторов ( )
2 , , , ,
n b b b … его координаты вычисляются по формуле: а b a b с T с → = или 1 ( ) b a a b с T с − → = .
( )
, , c = − задан своими координатами в базисе из векторов ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 1 0 1 1 3 3 2 , , , , , ,
, , . a a a = = = Найти его координаты в базисе из векторов ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 6 4
3 4 3 3 3 2
, , , , , ,
, , b b b = = = . Решение: Шаг 1. Находим матрицу перехода a b T → : ( ) (
) 1 2 3 1 2
, , . , ,
n a b b b b a a a T → = 5 3 3
2 0 3 6 4 3
2 1 3 4 3 2
1 1 2 a b T → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Решая полученную систему, найдем матрицу перехода 1 0 0
1 1 0 1 1 1
a b T → ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ Шаг 2. Находим координаты вектора c в базисе из векторов 1 2 3
, , . b b b 1 1 0 0 1 1 1 0
1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1 2
0 0 1 2 ; ; а b b a b с T с c → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⇒⎜ ⇒⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ − − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ Ответ:
( ) 1 0 2 , , b с = −
Определение. Линейным подпространством векторного простран- ства
n называется непустое множество векторов L, обладающего сле- дующими свойствами: сумма двух любых векторов из L принадлежит L; 34 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства произведение любого вектора из L на любое число снова при- надлежит L. Линейные подпространства задаются либо в виде оболочки, либо в виде
множества решений однородной системы линейных уравнений. Задание L в виде оболочки имеет вид: { } 1 2 , , , k L a a a = … . Определение. Любой вектор x , принадлежащий L, является линей- ной комбинацией векторов оболочки. Если
∈ , то
1 2 1 2 ,
k j x a a a R = + + +
∈
. Задание L в виде однородной системы линейных уравнений Сначала докажем, что множество решений однородной системы линейных уравнений образуют подпространство. Пусть дана некото- рая однородная система уравнений (система имеет множество реше- ний (
)) .
11 1 12 2
13 3 1 21 1 22 2 23 3
2 31 1
32 2 33 3
3 1 1
2 2 3 3
0 0 0 0 ......................................................... n n n n n n m m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎧ + + + +
= ⎪⎪⎪
⎪ + + + + = ⎪⎪⎪⎪ + + + + = ⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ + + + + = ⎪⎪⎩ … … … … Допустим, что векторы ( )
0 0 0 0 1 2 3 , , , ,
n x x x x x = … и ( ) 1 2 3 , , , , n x x x x x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = … являются частными решениями множества решений данной системы уравнений. Если множество решений является линейным подпространством, то любые частные решения системы должны удовлетворять условиям: Сумма двух любых векторов из L принадлежит L. Сложим векторы 0
∗ . Полученный суммарный вектор подста- вим в заданную систему уравнений и убедимся, что суммарный вектор также является решением системы, а, следовательно, принадлежит множеству решений системы. Произведение любого вектора из L на действительное число снова принадлежит
Умножим любое частное решение на произвольное число. Подста- вив это частное решение, умноженное на произвольное число, в си- стему уравнений, убеждаемся, что получаем систему числовых тож- деств.
координаты которых целые числа? Решение. Возьмем два вектора с целочисленными координатами:
35 Линейные подпространства ( )
) 1 2 1 2 , , , , , , ,
n n a a a a L b b b b L = ∈ = ∈ … … Проверим первое условие: ( )
1 2 2 , , ,
n n a b a b a b a b + =
+ + + … . Очевидно, что i i a b + – целые числа. Следовательно, первое усло- вие выполняется. Проверим второе условие: Умножим вектор
наты полученного вектора не являются целыми числами, что означает невыполнение второго условия. Это означает, что данное множество векторов не является подпространством. Пример 25. Является ли подпространством L множество векторов, координаты которых с четными номерами равны нулю? Решение. Согласно условию, любой вектор множества имеет вид: ( ) 1 3 0 0 , , , ,
a a a L = ∈ … Проверим первое условие: ( )
1 3 3 0 0 , , , , a b a b a b + =
+ + … . Очевидно, что первое условие выполняется. Проверим второе условие : Умножим вектор
( ) 1 3 0 0 , ,
, , a a a = … . Очевидно, что координаты полученного вектора с четными номе- рами равны нулю. Это означает, что и второе условие определения подпространства выполняется. Данное множество векторов является подпространством. Download 0,59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish