Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
- Матричные уравнения
- Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера–Капелли
- Теорема Кронекера-Капелли.
- Необходимость.
- Достаточность.
- Определение.
|
21 Правило Крамера для решения систем линейных уравнений Решение: 2 1 3 9 3 5 1 4
7 0 14 49 3 5 1 4
2 1 3 9
2 1 3 9 4 7 1 6 4 7 1 6
10 0 20 57 ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ − − − − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ − − ⇒⎜ − ⇒⎜ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ − − − − −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ Поделим первую строку на –7 и третью строку поделим на –10. По- лучим: 1 0 2 7 1 0 2 7 2 1 3 9 0 1 1 5 1 0 2 5 7 0 0 0 1 3
. . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − ⇒⎜ − − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Последняя строка матрицы – суть уравнение 1 2
0 0 0 1 3 .
x x + + =− , которое не имеет решений. Следовательно, система несовместна. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений Рассмотрим систему уравнений 11 1 12 2
1 21 1
22 2 2
a x b a x a x b ⎧ + = ⎪⎪ ⎨⎪ + = ⎪⎩ . Выразим пере- менную
2 x из первого уравнения: 1 11 1 2 12
a x x a − = . Подставим выраже- ние для
2 x во второе уравнение и разрешим его относительно 1
лучим следующее выражение: 1 22
2 12 1 11 22 21 12 b a b a x a a a a − = − . Заметим, что числи- тель и знаменатель дроби можно представить в виде определителей второго порядка, т.е. 1 12
22 1 11 12 21 22 . b a b a x a a a a = Аналогично выразим переменную 11 1 21 2 2 11 12 21 22 . a b a b x a a a a = Определитель 11 12 21 22 a a a a =
называется определителем системы. Если определитель системы не равен нулю, система имеет решение. Определители, стоящие в числителях формул для отыскания значений неизвестных обозначим 1 2
12 11 1 2 22 21 2 ;
x b a a b b a a b = = Следовательно, чтобы решить систему уравнений достаточно вычислить определители 1 2 ; ;
x
и найти 1 2 1 2 ; x x x x = = .
22 Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений 1 2
1 2 3 1 2 3 2 5 9 3 2 3 6 25
x x x x x x x x ⎧ +
+ =− ⎪⎪⎪ ⎪ − + = ⎨⎪ ⎪⎪ −
− = ⎪⎩ Составим определители: 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 5 9 2 5 1 1 3 24 2 1 3 48 3 6 1 25 6 1 1 9 5 1 2 9 1 2 3 72 1 1 2 24 3 25 1 3 6 25 48 24 72 2 3 1 24 24 24 Ответ 2 3 1 ; ; ; ; ; : ; ; x x x x x x x x x x x x − = − = = − = − − − − − − = ==−
= − =− − − − − = = = = = =− = = =− = =− ==− Матричные уравнения Матричные уравнения – уравнения, где роль неизвестной играет матрица, и которые можно, например, записать в виде: АХ=В. Уравнение можно решить несколькими способами. Способ 1. Перемножим матрицы А и Х. Получим равенство двух ма- триц. Учитывая определение равенства матриц, задача сводится к ре- шению системы линейных уравнений. Рассмотрим этот способ реше- ния на примере. Пример 16. Решить уравнение 1 2
3 5 3 4
5 9 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Перепишем уравнение в виде: 11 12 21 22 1 2
3 5 3 4
5 9 x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Перемножив матрицы левой части уравнения, получим: 11 21 12 22 11 21 12 22 2 2 3 5
3 4 3 4 5 9
x x x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Так как матрицы равны, решение сводится к решению системы уравнений: 11 21 12 22 11 21 12 22 2 3 2 5 3 4 5 3 4 9 x x x x x x x x ⎧ +
= ⎪⎪⎪
⎪ + = ⎪⎪⎨ ⎪ + = ⎪⎪⎪ + = ⎪⎪⎩ 23 Матричные уравнения Запишем систему в матричном виде, решаем её методом Гаусса- Жордана:
11 12 21 22 1 0 2 0 3
0 1 0 2 5 3 0 4 0 5
0 3 0 4 9 x x x x ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Решив систему методом Гаусса-Жордана, получим: 11 12
22 1 1 2 3 , , ,
x x x =− =− = = Ответ: 1 1
3 X ⎛ ⎞ − − ⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ . Способ 2. Запишем систему в виде расширенной матрицы. Линей- ными преобразованиями строк приводим левую часть матрицы к еди- ничной. В правой части расширенной матрицы получим ответ.
Решение:
1 2 3 5 3 5 1 2 3 4 5 9 4 6 0 2 3 5
1 1 1 2 1 0 2 3 2 3
0 1 0 1 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − − ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ Ответ:
1 1 2 3 X ⎛ ⎞ − − ⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ . Проверка: ( )
( ) ( )
( ) 1 2
1 1 3 5 1 1 2 2 1
1 2 3 3 4
2 3 5 9 3 1 4 2 3
1 4 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⋅ − + ⋅
⋅ − + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Согласно определению обратной матрицы, её нахождение можно свести к решению матричного уравнения вида: 1
E − ⋅ = Способ 3. Если в уравнении АХ=В матрица А квадратная и не- вырожденная, то для решения уравнения используем обрат- ную матрицу 1
− . Умножим исходное уравнение слева на матрицу 1 1 1 1 1 . A A AX A B EX A B X A B − − − − − = ⇒ = ⇒ = Пример18.Решим уравнение, приведенное в Примере 16. Найдем матрицу 1
− . 1 2 1 0 1 2 1 0 3 4 0 1 0 2 3 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 2 3 1 0 1 3 2 1 2
/ / ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
24 Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений 1 2
3 2 1 2
/ /
− ⎛
− ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ Найдем решение системы: 1 2 1 3 5
1 1 3 2 1 2 5 9 2 3 / /
A B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = = ⋅ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ Ответ: 1 1 2 3 X ⎛ ⎞ − − ⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ . Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера–Капелли Дана система уравнений (1). Запишем её в матричной форме (2):
11 1
12 2 13 3
1 1 21 1 22 2 23 3
2 2 31 1 32 2 33 3
3 3 1 1 2 2 3 3
......................................................... n n n n n n m m m mn n m a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b ⎧ + + + +
= ⎪⎪⎪
⎪ + + + + = ⎪⎪⎪⎪ + + + + = ⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ + + + + = ⎪⎪⎩ … … … … (1)
11 12 13
1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 1 2 3 ...................... n n n m m m mn m a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … (2) Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы си- стемы равен рангу расширенной матрицы системы.
неизвестные j x ( j = 1 … n) имеют определенные числовые значения. Подставив эти значения в уравнения системы (1), получим систему арифметических тождеств. Тогда видно, что столбец свободных членов ( )
i b ) матрицы (2) является линейной комбинацией остальных столб- цов матрицы системы. Следовательно ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы (2).
рангу расширенной матрицы системы. Но расширенная матрица си- стемы содержит на один столбец больше (это столбец свободных чле- нов системы уравнений). Так как ранг матрицы по строкам равен рангу 25 Теорема Кронекера–Капелли матрицы по столбцам, то добавленный столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы системы. Следовательно, существуют такие значения коэффициентов линейной комбинации столбцов ма- трицы системы ( ) j x ,при которых уравнения системы (1) превращаются в арифметические тождества. Следовательно, система совместна. 26 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства Ч А С Т Ь 3 .
n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства Любой вектор на плоскости и в пространстве можно определить как направленный отрезок. С точностью до параллельного
тора в пространстве каждый вектор определяется координатами в про- странстве. Например, 1 2 ( , , , ) n a a a a = , где для i a , i – порядковый но- мер координаты вектора. Определение. Упорядоченный набор из n действительных чисел на- зывается n – мерным вектором. Совокупность всех n – мерных векто- ров называется n – мерным векторным пространством. Число коор- динат вектора определяется размерностью пространства, в котором су- ществует вектор. Вектор можно записывать в виде 1 2
n a a a a = – вектор – строка, или в виде 1 2
a a a a ⎛ ⎞⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠
– вектор – столбец. Определение. Два вектора называются равными, если: равны их длины, и они одинаково направлены в пространстве; равны их соответствующие координаты. Если для векто- ров
1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , )
= =
справедливы равенства 1 1 2 2 ; ; ; n n a b a b a b = = =
– то векторы равны. Download 0,59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish