Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- Вычисление обратной матрицы
|
Свойства определителей Свойство 1. Если некоторая строка или столбец определителя со- стоит из нулей, то определитель равен нулю. 10 Часть 1. Элементы матричной алгебры Для доказательства достаточно разложить определитель по нулевой строке или по нулевому столбцу. Свойство 2. Общий множитель строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя. Доказательство. Дан определитель 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a = … … …
Разложим определитель по второй строке: 21 21 22 22
23 23 2 2 21 21 22 22
23 23 2 2 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 ( )
n n n n n n n n n nn a A a A a A a A a A a A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + + + = = + + + + =
= = … … …
делителя, то определитель меняет знак на противоположный. Доказательство. Дан определитель 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a ==
… … …
. Разложим определитель по первой строке: ( )
( ) ( )
( ) 1 1
1 2 1 11 11 12 12 1 1 1 11 11
12 12 1 1 1 1 1 1 n n n n n n a A a A a A a A a A a A + + + + = − + −
+ + − = = − + + −
(Знак перед последним членом определяется значением n) Проведем доказательство в два этапа: 1 – поменяем местами две соседние строки. Например, поменяем местами первую и вторую строки и разложим определитель по второй строке:
11 Свойства определителей ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 21 22 23 2 11 12 13 1 2 1 2 2 31 32 33 3 11 11 12 12 1 2 3 2 2 1 1 11 11 12 12 1 1 2 11 11
12 12 1 1 1 1 1 1 1
n n n n n nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a A a A a a a a a A a A a A a A a A a A a A + + + + + = −
+ − + + − =− + + − − = =− − + + − =− … … …
2 – поменяем местами, например, первую и k-ю строки. (k n).На- пример, сначала поменяем местами первую и вторую строки. Теперь первая строка находится на месте второй и, следовательно, знак опре- делителя сменился на противоположный. Теперь поменяем местами вторую и третью строки. Теперь элементы первой строки находятся на месте третьей. Знак определителя снова поменялся на противопо- ложный. Продолжим смену строк до тех пор, пока первая строка не за- ймет место k-ой, а k-ая строка окажется на месте k – 1. Определитель, при этом, сменит знак k раз. Далее, k – 1 строку продвигаем вверх, ме- няя ее местами с каждой предыдущей. Таких смен местами строк бу- дет
тельно, определитель сменит знак на противоположный. Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. Доказательство. Пусть некоторый определитель, содержащий две одинаковые строки, равен . Поменяем местами эти строки. Опреде- литель должен сменить знак и равняться − . Но так как строки были одинаковые, то его значение должно было бы остаться прежним, и, следовательно, = − . Это возможно только, если определитель ра- вен нулю. Свойство 5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определи- тель может быть представлен в виде суммы двух определителей, в каж- дом из которых все элементы равны элементам исходного определи- теля, кроме элементов указанной строки. А указанная строка (стол- бец) в первом определителе состоит из первых слагаемых, а во втором определителе – из вторых. 11 12 13 1 21 1 22 2 23 3 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n n n n n nn a a a a a b a b a b a b a a a a a a a a + + + + = … … …
12 Часть 1. Элементы матричной алгебры 11 12
1 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 31 32 33 3 31 32 33 3 1 2 3 1 2 3
n n n n n n n n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a = + … … … … … …
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число. Доказательство на основе свойств 2, 4, и 5.
меняется. Для доказательства следует вычислить исходный определитель, раз- ложив его по строке, а транспонированный определитель – разложить по столбцу, который равен соответствующей строке исходного опре- делителя. Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная ком- бинация других его строк, то определитель равен нулю. Доказательство на основе свойств 4, 5.
дится без доказательства). Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответ- ствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Пример 10. Вычислить определитель, используя свойства опреде- лителей. Линейными преобразованиями строк определителя приведем его к треугольному виду. Тогда определитель равен произведению элемен- тов главной диагонали. 1 2 3 1 2 3
0 1 1 0 1 1 1 2 4 5
0 0 1 − − − − = − − =
− −
По определению 1 1 A A A A E − − ⋅ = = , где A – квадратная невырож- денная матрица, определитель которой равен .
d = Введем вспомогательные понятия. Дана матрица 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … …
… … … … … … … … … ,
13 Вычисление обратной матрицы 11 21
12 22 2 1 2
n Т n n nт a a a a a a A a a a ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … …
… … … … … … … … … . Матрица, составленная из алгебраиче- ских дополнений элементов транспонированной матрицы A , называ- ется присоединенной матрицей и обозначается A ∗ . 11 21 1 12 22 2 1 2 . n n n n nт A A A A A A A A A A ∗ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … … … … … … … …
. A A ⋅ ∗
0 0 0 0 1 0 0 d d A A dE A A E A d ∗ ∗ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ = = ⇒ ⋅ = ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … … … … … … … … . Учитывая опре- деление обратной матрицы: 1 1 A A A − ∗ = .
3 4 5
2 3 1
3 5 1 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎝ ⎠ . Решение:
Шаг 1. Вычисляем определитель матрицы А. A =9 – 12 – 50 – (–45 – 15 + 8)= –1. Шаг 2. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов ма- трицы:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 1
11 11 1 2 12 12 1 3 13 13 2 1 21 21 2 2 22 22 3 1 1 3 5 8
5 1 2 1 1 2 3
5 3 1 2 3 1 10 9 1 3 5 4 5
1 4 25
29 5 1 3 5 1 3 15 18 3 1 ( ) ( ) A M A M A M A M A M + + + + + − = −
= = + =
− − = − =− =− − − =
− − = − = =− + =−
− − = − =− =− +
=− − − = − = =− − =− − 14 Часть 1. Элементы матричной алгебры ( ) ( )
( ) ( )
2 3 23 23 3 1 31 31 3 2 32 32 3 3 33 33 3 4 1 15 12 3 3 5 4 5
1 4 15 11
3 1 3 5
1 3 10
7 2 1
3 4 1 9 8 1 2 3 ( ) ( )
M A M A M A M + + + + − = − =− =− − + = − − = − = =− + = − = −
=− =− −
= − = − = =− + =−
− Шаг 3. Составим присоединенную матрицу и вычислим обратную матрицу. Присоединенная матрица имеет вид: 11 21
12 22 32 13 23 33 1 8 29 11 5 18 7
1 3 1 8 29 11
8 29 11 1 1 5 18 7
5 18 7 1 1 3 1 1 3 1 ; A A A A A A A A A A A A A ∗ − ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = − = − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎜
⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ответ: 1 8 29
11 5 18
7 1 3 1 .
− ⎛
− − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠
15 Вычисление обратной матрицы Ч А С Т Ь 2 . Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид: 11 1 12 2
13 3 1 1 21 1 22 2
23 3 2 2 31 1 32 2
33 3 3 3 1 1 1
2 2 3 3
или 1...
......................................................... n n n n n n n ij j i j m m m mn n m a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x b i a x a x a x a x b
… … … …
Данная система состоит из
коэффициенты при неизвестных (i- номер строки ( i = 1, …, m), j – но- мер столбца ( j = 1, …, n)), i b – свободные члены системы. Если все i b равны нулю, то система называется однородной, в противном случае си- стема называется неоднородной. Система называется совместной, если существует упорядоченный набор значений переменных 1 2
, , ...,
n x x x такой, что при подстановке его в систему каждое уравнение системы превращается с числовое тож- дество. В противном случае, система называется несовместной (т.е. си- стема не имеет решений). Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как всегда существует нулевое решение. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Все несовместные системы являются эквива- лентными.
перестановка местами уравнений в системе; умножение любого уравнения на действительное число, отлич- ное от нуля; к одному из уравнений прибавить другое уравнение системы, умноженное на некоторое действительное число. Матрицей системы линейных уравнений называется матрица, со- ставленная из коэффициентов при неизвестных. Принимая во внимание правила перемножения матриц, систему уравнений можно представить в матричной записи: |
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish