Методические указания. Тема: Комплексные числа

Методические указания.
Тема: Комплексные числа.

Алгебраической формой комплексного числа (КЧ) называют число вида

,
где – мнимая единица – число, дающее в квадрате «-1». Частные случаи комплексного числа:
,  – мнимое число;
,  – действительное число.
Число называется сопряженным числу .
Тригонометрическая форма КЧ:
, (1)
где - модуль КЧ., угол - главное значение аргумента КЧ. Связь между , и такая же, как между декартовыми и полярными координатами точки:
;
В частности:

• 
  для действительного положительного числа , ;
  
• 
  для действительного отрицательного числа , ;
  
• 
  для мнимого положительного числа , ;
  
• 
  для мнимого отрицательного числа , .
  

Пример 1. Записать КЧ в тригонометрической форме.
Модуль для всех чисел . Аргументы:
- для : , так как , - в І четверти;
- для : , так как , - в І четверти;
- для : , так как , - во ІІ четверти;
- для : , так как , - в ІІІ четверти;
Показательная форма комплексного числа: .
Здесь - главное значение аргумента КЧ.
Например, число , данное в алгебраической форме, может быть записано в тригонометрической форме и в показательной форме .
Действия над комплексными числами

Пусть даны 2 комплексных числа и .

1. 
   Сложение, вычитание:
   

,

2. 
   Умножение:
   

.
В частности - действительное число. Надо помнить, что .
Например: , .

3. 
   Деление:
   

.
Например: .
4. Возведение в степень.
Возведение комплексного числа в -ю степень производится по формуле Муавра:
.
Формула Муавра применима при любом : дробном, положительном, отрицательном. При дробном необходимо учитывать многозначность результата.
В частности, имеем: , , ….
Например: Пусть , тогда
.
5. Извлечение корня -й степени.
Как действие, обратное возведению в степень, производится по формуле Муавра для дробного показателя
.
Геометрически, значения корня являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат радиуса R= .