Методические указания по начертательной геометрии для студентов 1 курса всех специальностей дневной формы обучения

Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка 
описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то 
они пересекаются по линии, распадающейся на две кривые второго порядка 
(рис. 21, 22). 
Теорема Монжа представляет частный случай теоремы о двойном 
прикосновении и доказывают ее на основании последней. В самом деле, 
пусть линии касания, как лежащие на третьей поверхности и являющиеся 
плоскими, пересекаются в действительных точках Р и Q. Тогда очевидно, что 
касательная плоскость в точке Р будет одновременно касаться и первой и 
второй поверхностей. Значит, точка Р будет точкой прикосновения заданных 
поверхностей. То же самое и точка Q. Следовательно, имеется двойное 
прикосновение, а потому на основании теоремы, относящейся к этому 
случаю, данные поверхности пересекаются по плоским кривым. В практике 
теорема Монжа применяется часто в случаях, когда пересекаются 
поверхности вращения второго порядка, описанные около общей сферы или 
вписанные в нее (рис. 23).
При выполнении технических чертежей знание особенностей данных 
линий пересечения позволяет проводить их без построения случайных точек 
этих линий. 

---

34 
Рис. 23 
На рис. 24 даны полуцилиндр и конус. Как видно из чертежа, в данные 
поверхности можно вписать полусферу, поэтому фронтальная проекция 
линии пересечения вырождается в две прямые линии, которые проводят 
через характерные точки 1 (1
2
) и 3 (3
2
). Проекция 3
2
определена по проекции 
3
3
точки 3 касания конической и цилиндрической поверхностей. Таким 
образом, линией пересечения данных поверхностей являются два 
полуэллипса 4-3-1-3-4, фронтальные проекции 4
2
-3
2
-1
2
которых вырождаются 
в прямые линии, профильные проекции 4
3
-3
3
-1
3
-3
3
-4
3
принадлежат 
окружности 
цилиндра, 
горизонтальные 
проекции 
4
1
-3
1
-1
1
-3
1
-4
1
– 
полуэллипсы. Случайная точка 2 линии пересечения может быть построена 
из условия принадлежности ее одной из заданных поверхностей. 

---

35 
Рис. 24 

---

36