Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительные методы на эвм»

 

---

4 
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
Прежде чем рассматривать методы решения дифференциальных 
уравнений, напомним некоторые сведения из курса математического ана-
лиза, которые понадобятся нам в дальнейшем изложении.В зависимости 
от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся 
на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения в 
частных производных, содержащие несколько независимых переменных.
Рассмотрим простой пример. Пусть степень изменения величины y 
по отношению к изменению x пропорциональна y. Математически это ут-
верждение запишется в виде простейшего дифференциального уравнения 
(1) 
Решение этого уравнения хорошо известно: 
, 
где a – произвольная постоянная. При различных значениях посто-
янной a получается семейство кривых, которые все удовлетворяют урав-
нению (1). Собственно говоря, уравнение (1) является просто утверждени-
ем, что в каждой точке кривой значение самой функции равно значению 
производной. Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать 
значение y для некоторого значения x, то можно определить постояннуюa. 
Например, предположим, что решение уравнения (1) должно проходить 
через точку x=0, y=1, что обычно записывается в следующем виде: 
y(0)=1 (2) 
При этом легко найти, что постоянная a равна 1 и что из всего се-
мейства кривых только одна удовлетворяет одновременно (1) и (2): 
. 
В общем случае обыкновенными дифференциальными уравнениями 
(ОДУ) называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько 
производных от искомой функции y=y(x). Их можно записать в виде 
, (3) 
где x – независимая переменная. 
Наивысший порядок n входящей в уравнение (3) производной назы-
вается порядком дифференциального уравнения. 
В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (3) 
удается выразить старшую производную в явном виде. Например, 
(4) 
Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относи-
тельно старшей производной. Примером такого уравнения является рас-
смотренное ранее уравнение (1) 
Решением дифференциального уравнения n-го порядка (3) называет-
ся всякая nраз дифференцируемая функция
, которая после ее под-

---

5 
становки в уравнение обращает его в тождество. График функции
называют интегральной кривой. 
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (3) 
содержит nпроизвольных постоянныхc
1
, c
2
,…, c
n
: 
(5) 
Функция (5) является решением уравнения (3) при любых значениях 
постоянных c
1
, c
2
,…, c
n
, т.е. уравнение (3) имеет бесконечное множество 
решений. Единственные (частные) решения получают с помощью допол-
нительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. 
При этом постоянные c
1
, c
2
,…, c
n
получают конкретные значения, опреде-
ляемые дополнительными условиями. 
В зависимости от способа задания дополнительных условий для по-
лучения частного решения дифференциального уравнения рассматривают 
три типа задач: задача Коши, краевая задача и задача на собственные зна-
чения. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения ис-
комой функции и ее производных при некоторых значениях независимой 
переменной, т.е. в некоторых точках. Количество дополнительных условий 
совпадает с порядком уравнения (кроме задач на собственные значения).