4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Прежде чем рассматривать методы решения дифференциальных
уравнений, напомним некоторые сведения из курса математического ана-
лиза, которые понадобятся нам в дальнейшем изложении.В зависимости
от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся
на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения в
частных производных, содержащие несколько независимых переменных.
Рассмотрим простой пример. Пусть степень изменения величины
y
по отношению к изменению
x пропорциональна
y. Математически это ут-
верждение запишется в виде простейшего дифференциального уравнения
(1)
Решение этого уравнения хорошо известно:
,
где
a – произвольная постоянная. При различных значениях посто-
янной
a получается семейство кривых, которые все удовлетворяют урав-
нению (1). Собственно говоря, уравнение (1) является просто утверждени-
ем, что в каждой точке кривой значение самой функции равно значению
производной. Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать
значение
y для некоторого значения
x, то можно определить постоянную
a.
Например, предположим, что решение уравнения (1) должно проходить
через точку x=0, y=1, что обычно записывается в следующем виде:
y(0)=1 (2)
При этом легко найти, что постоянная
a равна 1 и что из всего се-
мейства кривых только одна удовлетворяет одновременно (1) и (2):
.
В общем случае о
быкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ) называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько
производных от искомой функции y=y(x). Их можно записать в виде
, (3)
где
x – независимая переменная.
Наивысший порядок
n входящей в уравнение (3) производной назы-
вается
порядком дифференциального уравнения.
В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (3)
удается выразить старшую производную в явном виде. Например,
(4)
Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относи-
тельно старшей производной. Примером такого уравнения является рас-
смотренное ранее уравнение (1)
Решением дифференциального уравнения
n-го порядка (3) называет-
ся всякая
nраз дифференцируемая функция
, которая после ее под-
5
становки в уравнение обращает его в тождество. График функции
называют интегральной кривой.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (3)
содержит
nпроизвольных постоянныхc
1
, c
2
,…, c
n
:
(5)
Функция (5) является решением уравнения (3) при любых значениях
постоянных c
1
, c
2
,…, c
n
, т.е. уравнение (3) имеет бесконечное множество
решений. Единственные (частные) решения получают с помощью допол-
нительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.
При этом постоянные c
1
, c
2
,…, c
n
получают конкретные значения, опреде-
ляемые дополнительными условиями.
В зависимости от способа задания дополнительных условий для по-
лучения частного решения дифференциального уравнения рассматривают
три типа задач: задача Коши, краевая задача и задача на собственные зна-
чения. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения ис-
комой функции и ее производных при некоторых значениях независимой
переменной, т.е. в некоторых точках. Количество дополнительных условий
совпадает с порядком уравнения (кроме задач на собственные значения).
Do'stlaringiz bilan baham: