Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей

3 СЕЧЕНИЕ ПРЯМОГО КРУГОВОГО КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ
ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Построение сечения поверхности прямого кругового конуса.

Поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения, но мы рассматриваем ее отдельно, так как она занимает особое место среди других поверхностей вращения. Эта поверхность в своем роде уникальна, она служит носителем нескольких кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы.

Если плоскость проходит через вершину конуса, то она пересекает его по образующим с максимальным для данного конуса углом между ними. На рисунке 14а ─ это образующие S₁ и S₂.

Если же конус вращения пересекается плоскостью, не проходящей через его вершину, то в пересечении получается одна из следующих четырех кривых:

1) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рису-

нок 14б), плоскость α₂);

2) эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие данной поверхности или, иначе, не параллельна ни одной из образующих конуса (рисунок 14в), плоскость α₃). В этом случае угол между секущей плоскостью и осью конуса больше угла между этой осью и образующей конуса;

3) парабола, если секущая плоскость параллельна только одной из образующих (рисунок 14г), плоскость α₄). В этом случае углы между секущей плоскостью и осью конуса и между этой осью и образующей конуса равны между собой;

4) гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рису-

нок 14д), плоскость α₅). При этом угол между секущей плоскостью и осью конуса меньше угла между этой осью и образующей конуса.

Рисунок 14 (а, б)

Рисунок 14 (в, г, д)

Примеры построения проекций сечения прямого кругового конуса плоскостью общего положения при помощи вспомогательных секущих плоскостей приведены на рисунках 15, 16, 17.

Рассмотрим подробнее нахождение опорных точек фигуры сечения. Сначала находим крайние (высшую, низшую, левую и правую). Для этого проводим вспомогательную секущую плоскость Q, проходящую через вершину конуса и перпендикулярно следу Рн (рисунок 15).

Рисунок 15

Строим линию пересечения плоскостей Q и Р и находим образующие, по которым плоскость Q рассекает конус. Найденные точки 1 и 2 являются высшей и низшей точками сечения. Крайние левую и правую точки 4 и 3 находим с помощью вспомогательной секущей плоскости R (см. рисунок 15), которая рассекает плоскость Р по фронтали f_R.

На рисунке 16 показано построение точек 5 и 6, которые определяют положение малой оси сечения эллипса.

Рисунок 16

Для их построения воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью S. Проведем ее перпендикулярно плоскости проекций Н, параллельно горизонтальному следу Р_Н и через середину отрезка 1 – 2. Плоскость Р рассекается при этом по горизонтали h_s. На горизонтальной плоскости проведена окружность, на которой и лежат точки 5 и 6.

На рисунке 17 эта же задача решена способом замены плоскостей проекций. Найденные точки 1 и 2 являются высшей и низшей точками сечения. Крайние левую и правую точки 4 и 3 находим по линиям связи на третьей проекции. Точки 5 и 6 лежат на окружности, проведенной через середину отрезка 1₄ – 2₄, на плоскости проекций Т₄.

Рисунок 17