Международный научно-образовательный



Download 3,95 Mb.
bet78/208
Sana20.07.2022
Hajmi3,95 Mb.
#825858
TuriСборник
1   ...   74   75   76   77   78   79   80   81   ...   208
ФИО авторов: Туйчиева Сайёра Тахировна, Одамбоев Сулаймон Кахрамон угли, Хасанов Акбарбек Мурод угли
Ташкентский государственный транспортный университет
Название публикации: «ВЫЧИСЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА»


Цель работы: данная работа посвящена, для изучения приложения двойного интеграла на практике в технических сферах для определения центра тяжести плоских геометрических фигур.
Точку относительно, которой суммарный момент сил тяжести всех частей тела равен нулю, называют центром тяжести. При рассмотрении объектов, находящихся в однородном гравитационном поле, центр тяжести твердого тела совпадает с центром масс.
Первое правило: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры.
Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

Координаты
х0 ; у0
центра тяжести M плоской однородной ограниченной

фигуры D рассчитываются по следующим формулам:

 xdxdy x0 D ,
dxdy
D
 ydxdy
y0 D
dxdy
D


или
 xdxdy x0 D ,
S
 ydxdy
y0 D
S

где S – площадь области D (фигуры) или совсем коротко:

x Lx ,
0 S
y Ly
0 S
где
S 
D
dxdy ,
Lx 
D
xdxdy
, Ly

D
ydxdy .

Для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана

функцией
р(х, у) , формулы более сложные:
 xp(x, y)dxdy
 yp(x, y)dxdy

x0 D ,
M
y0 D
M

M  p(x, y)dxdy
D
– масса фигуры; в случае однородной плотности p const

они упрощаются до вышеприведённых формул.
Пример: найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной

линиями
x2 y2 4,
x y  2 , (x y  2  0) . Фигуру и её центр тяжести

изобразить на чертеже.
Решение: условие данной задачи требует выполнения чертежа.



Прямая
x y  2
рассекает круг на 2 части, и дополнительная оговорка



x y  2  0
указывает на то, что речь идёт именно о маленьком заштрихованном кусочке.

Фигура симметрична относительно прямой y  x
(изображена пунктиром),

поэтому центр тяжести должен лежать на данной линии. И, очевидно, что его координаты равны по модулю.
И кто его знает, что там нарисуется ещё. Казалось бы, ввиду наличия окружности выгодно перейти к полярной системе координат, однако не всё так просто.

Уравнение прямой
x y  2
преобразуется к виду
r cos  sin
. В этой связи


2
осмотрительнее остановиться на декартовых координатах. Порядок обхода фигуры:
 4  x2y x  2




  1. Вычислим площадь фигуры:

0  x  2

2 x2 2
x2 2

S dxdy dx
dy y dx x  2 
dx

D 0
0 0

 2 x  2 
2 2
dx x  2 dx  4  x2 dx
  
0 0 0
Первый интеграл рациональнее взять подведением под знак дифференциала:
2 2
x  2dx x  2d x  2
0 0
А во втором интеграле проведём стандартную замену:
x  2sin t

  41  sin2 t  2
 2cost

dx 2sin t dt 2costdt
x  2sin t  sin t x t  arcsin x
2 2

Вычислим новые пределы интегрирования:
t  arcsin 0  arcsin0  0 , t  arcsin 2  arcsin1 .


2

2
1  
 
1  
  2

 





S 1
2
x 22

2
0
2
4cos2
tdt
1 02  22
2
2
4cos2
tdt

0 0


1
2 4 2 1 cos 2t dt 2 2 t 2 sin 2t
0

 2  2 1  sin  0  1  sin 0  2  2 


 2    1,14 ед2



2 2
2 2



  1. Найдём х

0
 

2 x2 2
x2 2

Lx xdxdy хdx dy х y dx х x  2 
dx

D 0 0 0

2 2
3 2 2 12


3
х2  2хdx х dx x x2
0 0 0
1 4  x2

2
0
d 4  x2

8  4  0  1 2
2   4 1 0  4 8 4
   

3 2 3
3 3 3 3 3

  0
Здесь во 2-м интеграле опять был использован метод подведения функции под знак дифференциала.

x Lx
4


3
4  1,17






  1. Найдём y

0
0 S 2 3 2

2 x2
2 x2
1
1 2 2

Ly  ydxdy dx
ydy
y2 dx x 22 dx

D 0
2 0 2 0

1 2 1 2
2
1 1
x3 2



x  22 d x  2 4  x2 dx  
4x

2 2 2


0 0
0 2 3 0

1
3 3 1
23




8 1 16 8 4

2  2
6
0  2 4  2   0       
2 3

Отлично:
 




L 4
6 2 3 6 3

y y 3   4
 1,17

0 S 2 3 2

Изобразим точку


M 4 ; 4

на чертеже. В соответствии с



3    2 3    2
 
формулировкой условия запишем её как окончательный
ответ:

M 4 ; 4 .

3    2 3    2
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ




  1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс- М.: Айрис-пресс, 2011, 608 с.

  2. Белоусова В.И., Ермакова Г.М., Михалева М.М., Чуксина Н.В., Шестакова И.А. Высшая математика: учебное пособие. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун- та, 2017— Ч.II. — 300 с.

  3. Семерикова Н.П., Лапинова С.А. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 57 с.


Download 3,95 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   74   75   76   77   78   79   80   81   ...   208




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish