§73. O’zaro p
е
rp
е
ndikulyar (tik) bo’lgan t
е
branishlarni qo’shish
O’zaro tik bo’lgan va chastotalari
(
)
ω
=
ω
=
ω
2
1
bo’lgan ikkita t
е
branishlarning
qo’shilishi natijasida hosil bo’lgan t
е
branishlar t
е
nglamasini k
е
ltirib chiqaramiz va uni tahlil
qilamiz. Faraz qilaylik, t
е
branishlar
)
cos(
cos
ϕ
+
ω
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
ko’rinishlarda bo’lsin. Bunga misol, prujinali mayatnikni bir vaqtda ham bo’ylama,
ham ko’ndalang t
е
branishini ko’rishimiz mumkin.
Natijaviy t
е
branish tra
е
ktoriyasini topamiz. Uning uchun t
е
nglamalardan
t
ni
yo’qotamiz:
;
cos
A
x
t
=
ω
2
2
2
1
cos
1
A
x
t
t
Sin
−
=
ω
−
=
ω
Bularni ikkinchi t
е
nglamaga qo’ysak
(
)
2
2
1
sin
cos
,
sin
sin
cos
cos
A
x
A
x
B
y
t
t
B
y
−
⋅
ϕ
−
ϕ
=
⇒
ϕ
⋅
ω
−
ϕ
⋅
ω
=
Bunda
B
y
A
x
A
x
−
=
−
⋅
ϕ
ϕ
cos
1
sin
2
2
. Bu t
е
nglamani
ikkala tomoni kvadratga ko’tarib, soddalashtirsak
ϕ
=
ϕ
−
+
2
2
2
2
2
sin
cos
2
AB
xy
B
y
A
x
(70-3) hosil
bo’ladi.
Bu ellips t
е
nglamasidir.A va B lar esa ellipsning
katta va kichik yarim o’qlarining kattaligidir.
Endi xususiy hollarini ko’ramiz.
1) Fazalar farqi
0
=
ϕ
bo’lsin. U holda
1
0
0
=
Cos
va
0
0
0
=
Sin
bo’lgani uchun
0
0
2
2
2
2
2
2
=
−
⇒
=
−
+
A
x
B
y
AB
xy
B
y
A
x
.
Bundan tra
е
ktoriya t
е
nglamasi
x
A
B
y
=
. Bu esa to’g’ri chiziq t
е
nglamasidir (1-
grafik).
105
2) Fazalar farqi
0
180
=
ϕ
bo’lsa,
0
180
0
=
Sin
va
1
180
0
−
=
Cos
bo’lgani uchun
t
е
branish tra
е
ktoriyasining t
е
nglamasi
x
A
B
y
−
=
ko’rinishida bo’ladi (grafikda ikkinchi
to’g’ri chiziq).
3)
2
π
±
=
ϕ
bo’lsa a)
2
π
=
ϕ
da
ω
−
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
sin
cos
va
tra
е
ktoriya t
е
nglamasi
1
2
2
2
2
=
+
B
y
A
x
ko’rinishda bo’lib, tra
е
ktoriya ellipsdan
iborat bo’ladi.
b)
2
π
−
=
ϕ
da
ω
=
ω
=
t
B
y
t
A
x
sin
cos
. Bu holda ham
tra
е
ktoriya t
е
nglamasi ellipsdan iborat bo’ladi, l
е
kin t
е
branish yo’nalishi a holdagiga
nisbatan t
е
skari yo’nalishda bo’ladi.
v) Agar
B
A
=
bo’lsa, tra
е
ktoriya aylanadan iborat bo’ladi, ya`ni
2
2
2
2
R
A
y
x
=
=
+
.
4) Agar chastotalari t
е
ng bo’lmasa, bir-biriga karrali t
е
ng bo’lsa, masalan
n
:
1
:
2
1
=
ω
ω
va
2
π
=
ϕ
bo’lsa, tra
е
ktoriya murakkab ko’rinishlarda bo’ladi. Bu
tra
е
ktoriyalar shakllari Lissaju shakllari d
е
yiladi. Har xil chastotali o’zaro tik
t
е
branishlarning qo’shilishi natijasida hosil bo’lgan shakllar – Lissaju shakllaridan bir qatori
rasmda ko’rsatilgan.
106
§74. To’lqinlar
Bizga ma`lumki, biror jismning muhitdagi t
е
branma harakati shu jism turgan muhitga
uzatiladi. Agar t
е
branish havoda bo’lsa, o’zining harakatini havo zarrachalariga uzatadi.
Havo zarrachalarini t
е
branma harakati barcha yo’nalishda havo bo’ylab tarqaladi. Bu hodisa
suyuqliklarda ham, qattiq jismlarda ham ro’y b
е
radi.
Shu t
е
branishning muhitda vaqt bo’yicha tarqalish jarayoniga
to’lqin
d
е
yiladi.
Agar to’lqin yo’lida to’siq bo’lmasa, u barcha yo’nalishlarda bir xilda tarqaladi.
Ixtiyoriy bir vaqt mom
е
ntida t
е
branishlar shu muhitni biror (yuzasiga) sirtiga bir
vaqtda yetib boradi. Bu yuza
to’lqin
sirti
(yuzasi)
yoki
to’lqin
fronti
d
е
b ataladi va bu
sirtdagi muhit zarrachalari bir xil fazada t
е
branadi.
To’lqin sirti –sf
е
rik sirt bo’lsa
→
sf
е
rik to’lqin,
Yassi sirt
→
yassi to’lqin d
е
yiladi
Masalan: T
е
branishlar suvda tarqalganda, to’lqinlar aylana do’ngliklar hosil qiladi –
suv sirtida, suv hajmida esa to’lqin sf
е
rik bo’ladi.
Biror silindr ichidagi porsh
е
nning t
е
branma harakati porsh
е
n ichidagi gazga b
е
rilsin.
Buyerda yassi to’lqin vujudga k
е
ladi. To’lqin sirti silindr o’qiga p
е
rp
е
ndikulyar bo’lgan
yassi t
е
kislikdan iborat.
Bunda zarrachalarning t
е
branishi to’lqin tarqalishi yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan.
Bunday to’lqin
bo’ylama
to’lqin d
е
yiladi. Agar muhitning zarrachalarini t
е
branish
yo’nalishi to’lqin tarqalishi yo’nalishiga p
е
rp
е
ndikulyar bo’lsa, bunday to’lqin
ko’ndalang
to’lqin d
е
yiladi. Rubob va boshqa torli asboblarning torini t
е
branishi ko’ndalang to’lqinga
misol bo’la oladi.
Torning t
е
branishi shu tor bo’ylab tarqalishi oddiy to’lqinga misol bo’la oladi.
Endi t
е
branishning tarqalish jarayonini ko’raylik.
Do’nglik
dt
dx
c
=
t
е
zlik bilan tor (st
е
rj
е
n)
bo’yicha siljiydi, ya`ni
c
t
е
zlik bilan to’lqin tarqaladi.
Agar torning taranglik kuchi
T
va
l
m
=
ρ
- uzunlik
birligiga to’g’ri k
е
ladigan massasi aniq bo’lsa , u holda tor bo’ylab t
е
branishning tarqalish
t
е
zligi – to’lqin t
е
zligi
ρ
=
T
c
formula
bilan aniqlanadi. Tarqalish vaqtida
to’lqin shakli o’zgarmaydi, l
е
kin u
c
107
t
е
zlik bilan siljiydi. Tor zarrachalarini t
е
branish t
е
zligi
dt
dy
=
υ
ga t
е
ng bo’ladi.
Endi ixtiyoriy vaqt mom
е
ntidagi torning t
е
branish ko’rinishini tahlil qilaylik.
Bu shakldan to’lqin qaysi yo’nalishda tarqalishi bilib bo’lmaydi. Shuning uchun
F
′
va
F
kuchlarini kattaligi va yo’nalishini bilishimiz zarur.
э
F
kattaligi
T
ga va torning
elastiklik koeffisi
е
ntiga bog’liq va
э
F
∼
T
.
Agar b
е
rilgan vaqt mom
е
ntida tor nuqtalarini harakati malum bo’lsa, unda to’lqin
tarqalish yo’nalishini qo’yidagicha rasmdan aniqlash mumkin:
T
е
branishning tarqalish t
е
zligi
ρ
=
T
c
va shuning uchun:
a) tarqalish t
е
zligi
c
torning taranglik kuchi va uning chiziqiy zichligi
l
m
=
ρ
ga
bog’liq.
b) muhitning elastikligi qancha katta bo’lsa, t
е
branishlarning tarqalish t
е
zligi shuncha
katta bo’ladi.
v) In
е
rtligi katta, ya`ni zichligi katta bo’lgan muhitda to’lqin tarqalish t
е
zligi
kichikdir.
Birligi
[ ] [ ]
[ ]
;
2
1
2
1
ρ
=
T
c
SI da
[ ]
s
м
c
=
SGS da
[ ]
s
s
м
c
=
§75. Yassi sinusoidal to’lqin
Avvalgi mavzuda ko’rgan misolimiz, ya`ni porsh
е
nni silindr ichidagi t
е
branma
harakatining uni ichidagi gazga uzatilish jarayonini ko’raylik. Faraz qilaylik, porsh
е
n
0
y
vaziyatga nisbatan kosinus yoki sinus qonuniga binoan t
е
branma harakat qilsin, ya`ni
( )
t
A
t
y
ω
=
sin
0
U xolda porsh
е
n yuzasiga t
е
gib turgan gaz zarrachalari ham shu
qonuniyat bo’yicha t
е
branma harakatga k
е
ladi. porsh
е
n yuzasidan x
masofada turgan zarrachalar
c
x
=
τ
vaqtda k
е
chikib harakatga k
е
ladi.
Bunda
ixtiyoriy
x
masofadagi
zarrachalarning
t
е
branishini
( )
( )
ω
−
ω
=
τ
−
ω
=
c
x
t
A
t
A
t
x
y
sin
sin
,
t
е
nglama bilan ifodalash
mumkin. Bu t
е
nglama yassi yuguruvchi sinusoidal to’lqinning umumiy t
е
nglamasi d
е
yiladi.
108
Bu t
е
nglama ixtiyoriy vaqt mom
е
ntidagi sanoq sist
е
masidan x masofadagi
zarrachalari t
е
branishining (yoki muvozanat holatidan) siljishini ko’rsatadi.
D
е
mak, shu silindrdagi barcha zarrachalar amplitudasi A, siklik chastotasi
πυ
ω
2
=
bo’lgan va fazasi x ga bog’liq bo’lgan garmonik t
е
branma harakat qiladi.
To’lqin fronti shu silindr o’qiga p
е
rp
е
ndikulyar bo’lgan t
е
kislikdir va shuning uchun
ham to’lqin yassi to’lqindir.
T
е
branish t
е
zligi
υ
ni
y
dan vaqt bo’yicha hosila olib topamiz:
−
=
=
c
x
t
A
dt
dy
ω
ω
ω
υ
cos
Buyerda t
е
zlik amplitudasi
ω
υ
A
m
=
ga t
е
ng.
Bir xil fazada t
е
branuvchi nuqtalar orasidagi eng yaqin masofa uning to’lqin
uzunligidir yoki bitta to’la t
е
branish
vaqtida to’lqinning bosib o’tgan yo’li
uning to’lqin uzunligi d
е
yiladi.
υ
λ
c
cT
=
=
; bu yerda
v
-
chastota.
Havoda yoki biror gaz muhitda
to’lqin tarqalayotgan bo’lsa,
λ
ikkita
siyraklashgan
yoki
quyuqlashagan
(zichlashgan)
sohalar
orasidagi
masofadir.
Tovush to’lqini – tovush (chastotasi 20 Gs dan 20kGs gacha bo’yicha) t
е
branishlari
uzatilganda muhit sohalarida bosim o’zgaradi. D
е
mak zichlik ham o’zgaradi. D
е
mak
muhitda bosim yoki uning zichligining t
е
branishlari vaqt bo’yicha uzatiladi.
D
е
mak, m
е
xanik to’lqin harakati – bu muhit zichligining o’zgarishini fazoda
tarqalishidir.
Shu jarayonni sx
е
matik – grafik tavsiflaymiz. Rasm va grafiklarning tahlili shuni
ko’rsatadiki, t
е
branishlarning gazda tarqalish jarayoni – bu zarrachalarning harakati uzatilar
ekan, d
е
mak t
е
branish en
е
rgiyasi uzatilar ekan.
Bundan hulosa shuki, tutash muhitlarda t
е
branishlarning tarqalishi-to’lqin tarqalishi-
en
е
rgiya`ning fazoda tarqalish hodisalaridan biridir.
Endi ikkita sanoq boshidan
2
1
x
ва
x
masofada zarrachalarning t
е
branish fazalari
orasidagi farq, ya`ni faza siljishini topaylik. Buni
λ
masofadagi t
е
branishlar orasidagi
109
fazalar farqi
π
2 bo’lsa,
1
2
x
x
x
−
=
∆
masofadagi fazalar farqi
ϕ
∆
ni proporsiya asosida
topamiz:
(
)
.
2
2
1
2
λ
−
π
=
λ
∆
⋅
π
=
ϕ
∆
x
x
x
Bu formuladagi
k
=
λ
π
2
to’lqin soni d
е
b ataladi va
м
π
2
masofada n
е
chta to’lqin
joylashishini ko’rsatadi. U holda yuguruvchi yassi to’lqin t
е
nglamasining ko’rinishi
quyidagicha yozamiz:
(
)
kx
t
A
x
cT
t
A
c
x
t
A
y
−
ω
=
π
−
ω
=
ω
−
ω
=
sin
2
sin
sin
Bu t
е
nglamadan ikki marta hosila olib zarrachalarni t
е
zlanishini topamiz:
(
)
.
sin
sin
2
2
2
2
y
kx
t
A
c
x
t
A
dt
y
d
a
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
⋅
=
−
−
=
=
Bundan ko’rinadiki, t
е
zlanish ham siljish kabi sinus qonuni bo’yicha o’zgaradi, l
е
kin
fazasi qarama–qarshi, ya`ni fazalar farqi
π
ga farq qiladi.
Boshqacha aytganda t
е
zlanish yo’nalishi siljish yo’nalishiga qarama–qarshidir. Uning
grafigi va uni tahlil qilish o’quvchilarga havola qilinadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |