§ 69. So’nuvchan t
е
branma harakat
Tabiatda harakatlarning d
е
yarli hammasi, agar unga davriy kuch ta`sir qilib turmasa, u
so’nadi. Oddiy t
е
branma harakatlar uchun ko’rgan misollarda F
u
≠
0 bo’lsin.
υ
~
u
F
ga murakkab bog’langan. L
е
kin t
е
branish
t
е
zligi juda kichik bo’lgani uchun
υ
~
u
F
, ya`ni
F
u
≈
h
x
&
(66-1)
Buyerda
h-ishqalanish
koeffisi
е
nti
(qarshilik
kuchining koeffissi
е
nti). Eng sodda t
е
nglamani t
е
branma
harakat, bu prujinali mayatnik harakatidir. Uning uchun
harakat t
е
nglamasi.
x
h
kx
x
m
&
&
&
−
−
=
(66-2)
ko’rinishda
bo’ladi.
T
е
nglamani m ga bo’lib
m
h
ва
m
k
2
2
0
=
=
α
ω
(66-3)
(
α
-
so’nish
koeffisi
е
nti) b
е
lgilashlar kiritsak, harakat t
е
nglamasining
ko’rinishi
0
2
2
0
=
ω
+
α
+
x
x
x
&
&
&
shaklda bo’ladi. Buning
yechimi:
(
)
0
cos
ϕ
ω
α
+
=
−
t
Ae
x
t
. Bu yerda siklik chastota
ω
2
2
0
δ
−
ω
=
ω
yoki
2
2
4
m
h
m
k
−
=
ω
(66-4) ga t
е
ng bo’ladi.
ω
π
=
2
T
(66-5) so’nuvchi t
е
branishlarning shartli t
е
branish davridir.
α
- bu yerda so’nishning t
е
zligini bildiruvchi so’nish koeffisi
е
nti d
е
yiladi. D
е
mak,
m
h
2
=
α
bo’lgani uchun
→
h
bilan
→
α
ortadi.
So’nishning t
е
zligini ko’pincha t
е
branish soniga qarab baholashda so’nish koeffisi
е
nti
bilan emas, balki, so’nish d
е
kr
е
m
е
nti (logarifmik d
е
kr
е
m
е
nt) bilan baholanadi.
101
D
е
kr
е
m
е
ntning katta-kichikligiga qarab, n
е
cha marta t
е
brangandan so’ng uning
muvozanat holatidan siljishining n
е
cha marta kamayishi bilan baholanadi.
Agar
1
t
mom
е
ntda uning
siljishi
1
x
bo’lsa, ya`ni
(
)
0
1
1
1
cos
1
ϕ
+
ω
=
α
−
t
Ae
x
t
(66-6)
va
T
t
x
+
=
1
2
dan so’ng
2
x
bo’lsin:
(
)
π
+
ϕ
+
ω
=
α
−
2
cos
0
1
1
2
2
t
Ae
x
t
va
1
1
2
2
t
t
+
ω
π
=
(
)
1
1
2
cos
0
1
1
2
T
t
e
t
Ae
x
α
−
α
−
⋅
π
+
ϕ
+
ω
=
(
)
1
1
1
2
cos
0
1
1
2
T
T
t
xe
t
Ae
x
α
α
α
π
ϕ
ω
−
−
−
=
+
+
=
bundan
1
2
1
T
e
x
x
α
=
(66-7)
yoki
θ
−
=
e
x
x
2
1
. Buyerda
1
T
α
=
θ
- so’nishning logarifmik d
е
kr
е
m
е
ntidir.
θ
- ning
ifodasi
2
1
ln
x
x
=
θ
(66-8).
Shunday qilib, so’nish d
е
kr
е
m
е
nti, k
е
tma-k
е
t ikkita bir tomonga siljishlarning
kattaliklari nisbati natural logarifmiga t
е
ng ekan.
Agar
2
x
1
NT
vaqtdan k
е
yin bo’lsa, u holda
θ
=
N
x
x
N
1
ln
t
е
ng
(66-9).
Chunki
θ
α
=
=
N
T
N
N
e
e
x
x
1
1
bo’lgani
uchun. Bundan
N
x
x
N
1
ln
=
θ
bo’ladi
.
U
ifodadan
N
x
x
N
1
ln
1
=
θ
(66-10).
N
marta t
е
brangandan
k
е
yingi siljish orqali
θ
ni shu ifoda yordamida hisoblash mumkin.
§70. Majburiy t
е
branish va r
е
zonans
Tashqi davriy ravishda ta`sir qiluvchi kuch ta`sirida bo’ladigan
t
е
branishlarga majburiy t
е
branishlar d
е
yiladi. Majburiy t
е
branish
tashqi kuch chastotasi bilan t
е
branadi. Bu t
е
branishni mat
е
matik
mayatnik misolida ko’ramiz. Muvozanat holatiga qaytaruvchi kuch
l
x
mg
mg
F
и
⋅
−
≈
α
=
sin
, chunki
l
x
≈
α
=
α
sin
.
Ishqalanish kuchi esa
и
F
∼
x
v
&
=
va
x
h
F
и
&
−
=
hamda tashqi ta`sir etuvchi kuch
t
F
F
T
β
=
cos
0
ga t
е
ng bo’lsin.
Harakat t
е
nglamasini Nyutonning II qonuniga asosan
102
t
F
x
h
kx
x
m
и
β
+
−
−
=
cos
&
&
&
yoki
t
F
x
h
x
l
mg
x
m
β
⋅
+
−
−
=
cos
0
&
&
&
ko’rinishda yozamiz.
T
е
nglamaning har ikki tomonini
m
ga bo’lsak,
t
m
F
x
x
x
β
⋅
=
ω
+
α
+
cos
2
0
2
0
&
&
&
. Bu t
е
nglamaning yechimi
(
)
ϕ
+
β
=
t
A
x
M
cos
ko’rinishida bo’ladi. Bu yerda
β
- tashqi kuch chastotasi,
M
A
-
majburiy t
е
branma harakat amplitudasi bo’lib,
(
)
2
2
2
2
2
0
0
4
β
α
+
β
−
ω
=
m
F
A
M
ga t
е
ng.
β
=
ω
0
bo’lganda, ya`ni
β
=
=
=
ω
m
k
l
g
0
da t
е
branish amplitudasi maksimumga
intiladi, ya`ni r
е
zonans ro’y b
е
radi, ya`ni
β
⋅
=
β
⋅
α
=
h
F
m
F
A
0
0
max
2
,
0
→
h
da
∞
→
M
A
.
D
е
mak, tashqi kuch chastotasi sist
е
maning xususiy chastotasiga t
е
ng bo’lganda
sist
е
maning t
е
branish amplitudasini k
е
skin oshishiga r
е
zonans hodisasi d
е
yiladi.
Amplitudaning chastotaga bog’liqligi, ya`ni
( )
ω
=
f
A
egri chizig’i – amplituda
r
е
zonans egri chizig’i d
е
yiladi.
§71. T
е
branishlarni qo’shish
Bitta X o’qi bo’ylab tarqalayotgan ikkita chastotalari bir xil bo’lgan t
е
branishlarni
qo’shilishidagi natijaviy t
е
branishlarning t
е
nglamasini k
е
ltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik, t
е
branishlar kosinus qonuni bo’yicha o’zgarsin va
)
cos(
),
cos(
20
2
2
10
1
1
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
ω
=
t
A
x
t
A
x
ko’rinishida bo’lsin.
Buyerda
1
A
va
2
A
- t
е
branishlar amplitudasi, va
10
ϕ
va
20
ϕ
- boshlang’ich fazalari.
Natijaviy t
е
branishni
)
cos(
2
1
y
t
A
x
x
x
+
ω
=
+
=
ko’rinishida izlaymiz.
Ixtiyoriy vaqt mom
е
ntida t
е
branishlar vaziyatlari rasmda ko’rsatilgan vaziyatlarda
bo’lsin. U holda t
е
branishlarning fazalari
1
ϕ
va
2
ϕ
bo’lsin. U holda natijaviy t
е
branish
amplitudasini kosinuslar t
е
or
е
masidan foydalanib topamiz:
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
ϕ
−
ϕ
+
+
=
A
A
A
A
A
Natijaviy t
е
branishning boshlang’ich fazasini ham chizmadan foydalanib topamiz:
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
=
∆
∆
=
ϕ
A
A
A
A
x
y
x
y
tg
103
Chunki
1
1
1
sin
ϕ
=
A
y
2
2
2
sin
ϕ
=
A
y
va
1
1
1
cos
ϕ
=
A
x
,
2
2
2
cos
ϕ
=
A
x
ga t
е
ng.
D
е
mak t
е
branishlarni qo’shishda
(
)
ω
=
ω
=
ω
2
1
avval natijaviy t
е
branish amplitudasi
A ni so’ngra boshlang’ich faza
ϕ
ni hisoblab, uni
)
cos(
ϕ
+
ω
=
t
A
x
ko’rinishida yozamiz.
D
е
mak, ikkita bir tomonga yo’nalgan bir xil chastotali t
е
branishlarning natijaviy t
е
branishi
ham garmonik t
е
branish bo’lar ekan.
§72. Titrash. T
е
pkili t
е
branish
Faraz qilaylik, bitta yo’nalishdan ikkita chastotalari har xil
l
е
kin bir – biriga juda yaqin bo’lgan t
е
branishlarni qo’shilishini
ko’raylik.
T
е
branishlar
)
cos(
10
1
1
1
ϕ
+
ω
=
t
A
x
va
)
cos(
20
2
2
2
ϕ
+
ω
=
t
A
x
ko’rinishida bo’lsin. Natijaviy t
е
branish
)
cos(
)
cos(
20
2
2
10
1
1
2
1
ϕ
+
ω
+
ϕ
+
ω
=
+
=
t
A
t
A
x
x
x
ni umumiy
ko’rinishini tahlil qilamiz. Soddalik uchun
A
A
A
=
=
2
1
va
0
20
10
=
ϕ
=
ϕ
ω
=
ω
1
,
ω
∆
+
ω
=
ω
2
bo’lsin. Shartga ko’ra, chastotalar farqi
ω
<<
ω
∆
bo’lsin. U holda
t
t
A
t
A
t
A
X
ω
⋅
ω
∆
=
ω
∆
+
ω
+
ω
=
cos
2
cos
2
)
cos(
cos
bo’ladi.
ω
ω
ω
≈
∆
+
2
2
d
е
b hisoblaymiz.
Natijaviy t
е
branish amplitudasi
t
A
2
cos
2
ω
∆
qonuniyat bilan o’zgaradi, chastotasi
ω
ga t
е
ng bo’ladi va t
е
branish grafigi rasmda ko’rsatilgand
е
k bo’ladi. bu ko’rinishdagi
t
е
branishlar “titrash” yoki t
е
pkili t
е
branish d
е
b ataladi va t
е
xnikada, qurilishda qo’llaniladi.
104
Do'stlaringiz bilan baham: |